Theorem iooretop 22379

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 22374	. . 3 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
2		bastg 20581	. . 3 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4		ioorebas 12146	. 2 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (,)
5	3, 4	sselii 3565	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  (,)cioo 12046  topGenctg 15921  TopBasesctb 20520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-ioo 12050  df-topgen 15927  df-bases 20522

This theorem is referenced by:  icccld  22380  icopnfcld  22381  iocmnfcld  22382  zcld  22424  iccntr  22432  reconnlem1  22437  reconnlem2  22438  icoopnst  22546  iocopnst  22547  dvlip  23560  dvlipcn  23561  dvivthlem1  23575  dvne0  23578  lhop2  23582  lhop  23583  dvfsumle  23588  dvfsumabs  23590  dvfsumlem2  23594  ftc1  23609  dvloglem  24194  advlog  24200  advlogexp  24201  cxpcn3  24289  loglesqrt  24299  lgamgulmlem2  24556  log2sumbnd  25033  dya2iocbrsiga  29664  dya2icobrsiga  29665  poimir  32612  ftc1cnnc  32654  areacirclem1  32670  rfcnpre1  38201  rfcnpre2  38213  ioontr  38583  iocopn  38593  icoopn  38598  islptre  38686  limciccioolb  38688  limcicciooub  38704  limcresiooub  38709  limcresioolb  38710  icccncfext  38773  itgsin0pilem1  38841  itgsbtaddcnst  38874  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem3  38998  dirkercncflem4  38999  fourierdlem28  39028  fourierdlem32  39032  fourierdlem33  39033  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem56  39055  fourierdlem57  39056  fourierdlem59  39058  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  fourierdlem62  39061  fourierdlem68  39067  fourierdlem72  39071  fourierdlem73  39072  fouriersw  39124  iooborel  39245