Theorem iocopnst 22547

Description: A half-open interval ending at 𝐵 is open in the closed interval from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
iocopnst.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
iocopnst	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽))

Proof of Theorem iocopnst

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooretop 22379	. . . . 5 ⊢ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,))
2		simp1 1054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝑣 ∈ ℝ))
4		simp2 1055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝐶 < 𝑣)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝐶 < 𝑣))
6		ltp1 10740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < (𝐵 + 1))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
8		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
9		lelttr 10007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
10	9	3expa 1257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
11	10	ancom1s 843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑣 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐵 + 1)) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
12	11	ancomsd 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 < (𝐵 + 1) ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
13	8, 12	mpidan 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐵 < (𝐵 + 1) ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
14	7, 13	mpand 707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑣 ≤ 𝐵 → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
15	14	impr 647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝑣 < (𝐵 + 1))
16	15	3adantr2 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝑣 < (𝐵 + 1))
17	16	ex 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
18	17	ad2antlr 759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝑣 < (𝐵 + 1)))
19	3, 5, 18	3jcad 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1))))
20		rexr 9964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
21		elico2 12108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
22	20, 21	sylan2 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
23	22	biimpa 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
24		lelttr 10007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝑣) → 𝐴 < 𝑣))
25		ltle 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑣 → 𝐴 ≤ 𝑣))
26	25	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑣 → 𝐴 ≤ 𝑣))
27	24, 26	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝑣) → 𝐴 ≤ 𝑣))
28	27	3expa 1257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝑣) → 𝐴 ≤ 𝑣))
29	28	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝑣)) → 𝐴 ≤ 𝑣)
30	29	an4s 865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣)) → 𝐴 ≤ 𝑣)
31	30	3adantr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑣)
32	31	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑣))
33	32	anasss 677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑣))
34	33	3adantr3 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑣))
35	34	adantlr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑣))
36	23, 35	syldan 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝑣))
37		simp3 1056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝐵)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → 𝑣 ≤ 𝐵))
39	3, 36, 38	3jcad 1236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))
40	19, 39	jcad 554	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))))
41		simpl1 1057	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
42		simpl2 1058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝐶 < 𝑣)
43		simpr3 1062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → 𝑣 ≤ 𝐵)
44	41, 42, 43	3jca 1235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)) → (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))
45	40, 44	impbid1 214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))))
46	23	simp1d 1066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
47		rexr 9964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
49		simplr 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
50		elioc2 12107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))
51	48, 49, 50	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))
52		elin 3758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
53		rexr 9964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
54	8, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
55	54	ad2antlr 759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ*)
56		elioo2 12087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1))))
57	48, 55, 56	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1))))
58		elicc2 12109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵)))
60	57, 59	anbi12d 743	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ((𝑣 ∈ (𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))))
61	52, 60	syl5bb 271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑣 ∧ 𝑣 < (𝐵 + 1)) ∧ (𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑣 ∧ 𝑣 ≤ 𝐵))))
62	45, 51, 61	3bitr4d 299	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐶(,]𝐵) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
63	62	eqrdv 2608	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
64		ineq1 3769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = (𝐶(,)(𝐵 + 1)) → (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
65	64	eqeq2d 2620	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = (𝐶(,)(𝐵 + 1)) → ((𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)) ↔ (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))))
66	65	rspcev 3282	. . . . 5 ⊢ (((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐶(,]𝐵) = ((𝐶(,)(𝐵 + 1)) ∩ (𝐴[,]𝐵))) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
67	1, 63, 66	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
68		retop 22375	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
69		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ∈ V
70		elrest 15911	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ∈ V) → ((𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵))))
71	68, 69, 70	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∃𝑣 ∈ (topGen‘ran (,))(𝐶(,]𝐵) = (𝑣 ∩ (𝐴[,]𝐵)))
72	67, 71	sylibr 223	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
73		iccssre 12126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
74	73	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
75		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
76		iocopnst.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
77	75, 76	resubmet 22413	. . . 4 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
78	74, 77	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐽 = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
79	72, 78	eleqtrrd 2691	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽)
80	79	ex 449	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶(,]𝐵) ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ran crn 5039   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  (,)cioo 12046  (,]cioc 12047  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  abscabs 13822   ↾_t crest 15904  topGenctg 15921  MetOpencmopn 19557  Topctop 20517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523

This theorem is referenced by: (None)