Theorem iocopnst 15877

Description: A half-open interval ending at B is open in the closed interval from A to B.

Hypothesis

Ref	Expression
iocopnst.1	|- J = (Open` ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))

Assertion

Ref	Expression
iocopnst	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) -> (C(,]B) e. J))

Proof of Theorem iocopnst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 2789	. . . . . . 7 |- (v = (C(,)(B + 1)) -> (v i^i (A[,]B)) = ((C(,)(B + 1)) i^i (A[,]B)))
2	1	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (v = (C(,)(B + 1)) -> ((C(,]B) = (v i^i (A[,]B)) <-> (C(,]B) = ((C(,)(B + 1)) i^i (A[,]B))))
3	2	rcla4ev 2381	. . . . 5 |- (((C(,)(B + 1)) e. (topGen` ran (,)) /\ (C(,]B) = ((C(,)(B + 1)) i^i (A[,]B))) -> E.v e. (topGen` ran (,))(C(,]B) = (v i^i (A[,]B)))
4		iooretop 8929	. . . . 5 |- (C(,)(B + 1)) e. (topGen` ran (,))
5		simp1 876	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> v e. RR)
6	5	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> v e. RR))
7		simp2 877	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> C < v)
8	7	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> C < v))
9		ltp1 6989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (B e. RR -> B < (B + 1))
10	9	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. RR /\ v e. RR) -> B < (B + 1))
11		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (B e. RR -> (B + 1) e. RR)
12	11	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B e. RR /\ v e. RR) -> (B + 1) e. RR)
13		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((v e. RR /\ B e. RR /\ (B + 1) e. RR) -> ((v <_ B /\ B < (B + 1)) -> v < (B + 1)))
14	13	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((v e. RR /\ B e. RR) /\ (B + 1) e. RR) -> ((v <_ B /\ B < (B + 1)) -> v < (B + 1)))
15	14	ancom1s 548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((B e. RR /\ v e. RR) /\ (B + 1) e. RR) -> ((v <_ B /\ B < (B + 1)) -> v < (B + 1)))
16	15	ancomsd 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((B e. RR /\ v e. RR) /\ (B + 1) e. RR) -> ((B < (B + 1) /\ v <_ B) -> v < (B + 1)))
17	12, 16	mpdan 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((B e. RR /\ v e. RR) -> ((B < (B + 1) /\ v <_ B) -> v < (B + 1)))
18	10, 17	mpand 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. RR /\ v e. RR) -> (v <_ B -> v < (B + 1)))
19	18	impr 422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((B e. RR /\ (v e. RR /\ v <_ B)) -> v < (B + 1))
20	19	3adantr2 1036	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. RR /\ (v e. RR /\ C < v /\ v <_ B)) -> v < (B + 1))
21	20	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> v < (B + 1)))
22	21	ad2antlr 441	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> v < (B + 1)))
23	6, 8, 22	3jcad 1051	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> (v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1))))
24		elico2 7559	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)))
25	24	biimpa 460	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B))
26		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. RR /\ C e. RR /\ v e. RR) -> ((A <_ C /\ C < v) -> A < v))
27		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. RR /\ v e. RR) -> (A < v -> A <_ v))
28	27	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. RR /\ C e. RR /\ v e. RR) -> (A < v -> A <_ v))
29	26, 28	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A e. RR /\ C e. RR /\ v e. RR) -> ((A <_ C /\ C < v) -> A <_ v))
30	29	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. RR /\ C e. RR) /\ v e. RR) -> ((A <_ C /\ C < v) -> A <_ v))
31	30	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((A e. RR /\ C e. RR) /\ v e. RR) /\ (A <_ C /\ C < v)) -> A <_ v)
32	31	an4s 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((A e. RR /\ C e. RR) /\ A <_ C) /\ (v e. RR /\ C < v)) -> A <_ v)
33	32	3adantr3 1037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((A e. RR /\ C e. RR) /\ A <_ C) /\ (v e. RR /\ C < v /\ v <_ B)) -> A <_ v)
34	33	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. RR /\ C e. RR) /\ A <_ C) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> A <_ v))
35	34	anasss 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. RR /\ (C e. RR /\ A <_ C)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> A <_ v))
36	35	3adantr3 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. RR /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> A <_ v))
37	36	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (C e. RR /\ A <_ C /\ C < B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> A <_ v))
38	25, 37	syldan 516	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> A <_ v))
39		simp3 878	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> v <_ B)
40	39	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> v <_ B))
41	6, 38, 40	3jcad 1051	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)))
42	23, 41	jcad 661	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1)) /\ (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B))))
43		simpl1 879	. . . . . . . . 9 |- (((v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1)) /\ (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)) -> v e. RR)
44		simpl2 880	. . . . . . . . 9 |- (((v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1)) /\ (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)) -> C < v)
45		simpr3 884	. . . . . . . . 9 |- (((v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1)) /\ (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)) -> v <_ B)
46	43, 44, 45	3jca 1050	. . . . . . . 8 |- (((v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1)) /\ (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)) -> (v e. RR /\ C < v /\ v <_ B))
47	42, 46	impbid1 575	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. RR /\ C < v /\ v <_ B) <-> ((v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1)) /\ (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B))))
48	25	simp1d 888	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> C e. RR)
49		simplr 449	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> B e. RR)
50		elioc2 7558	. . . . . . . 8 |- ((C e. RR /\ B e. RR) -> (v e. (C(,]B) <-> (v e. RR /\ C < v /\ v <_ B)))
51	48, 49, 50	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (v e. (C(,]B) <-> (v e. RR /\ C < v /\ v <_ B)))
52		rexr 6668	. . . . . . . . . . 11 |- (C e. RR -> C e. RR*)
53	48, 52	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> C e. RR*)
54		rexr 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B + 1) e. RR -> (B + 1) e. RR*)
55	11, 54	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. RR -> (B + 1) e. RR*)
56	55	ad2antlr 441	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (B + 1) e. RR*)
57		elioo2 7546	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. RR* /\ (B + 1) e. RR*) -> (v e. (C(,)(B + 1)) <-> (v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1))))
58	53, 56, 57	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (v e. (C(,)(B + 1)) <-> (v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1))))
59		elicc2 7560	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (v e. (A[,]B) <-> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)))
60	59	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (v e. (A[,]B) <-> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)))
61	58, 60	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> ((v e. (C(,)(B + 1)) /\ v e. (A[,]B)) <-> ((v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1)) /\ (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B))))
62		elin 2786	. . . . . . . 8 |- (v e. ((C(,)(B + 1)) i^i (A[,]B)) <-> (v e. (C(,)(B + 1)) /\ v e. (A[,]B)))
63	61, 62	syl5bb 591	. . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (v e. ((C(,)(B + 1)) i^i (A[,]B)) <-> ((v e. RR /\ C < v /\ v < (B + 1)) /\ (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B))))
64	47, 51, 63	3bitr4d 609	. . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (v e. (C(,]B) <-> v e. ((C(,)(B + 1)) i^i (A[,]B))))
65	64	eqrdv 1882	. . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (C(,]B) = ((C(,)(B + 1)) i^i (A[,]B)))
66	3, 4, 65	sylancr 526	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> E.v e. (topGen` ran (,))(C(,]B) = (v i^i (A[,]B)))
67		retop 8926	. . . . 5 |- (topGen` ran (,)) e. Top
68		oprex 4907	. . . . 5 |- (C(,]B) e. _V
69		oprex 4907	. . . . 5 |- (A[,]B) e. _V
70		issubspt 10247	. . . . 5 |- (((topGen` ran (,)) e. Top /\ (C(,]B) e. _V /\ (A[,]B) e. _V) -> ((C(,]B) e. (subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.) <-> E.v e. (topGen` ran (,))(C(,]B) = (v i^i (A[,]B))))
71	67, 68, 69, 70	mp3an 1191	. . . 4 |- ((C(,]B) e. (subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.) <-> E.v e. (topGen` ran (,))(C(,]B) = (v i^i (A[,]B)))
72	66, 71	sylibr 217	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (C(,]B) e. (subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.))
73		eqid 1884	. . . . 5 |- (topGen` ran (,)) = (topGen` ran (,))
74		iocopnst.1	. . . . 5 |- J = (Open` ((abs o. - ) |` ((A[,]B) X. (A[,]B))))
75	73, 74	iccst 15875	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> J = (subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.))
76	75	adantr 425	. . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> J = (subSp` <.(A[,]B), (topGen` ran (,))>.))
77	72, 76	eleqtrrd 1974	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ C e. (A[,)B)) -> (C(,]B) e. J)
78	77	ex 402	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,)B) -> (C(,]B) e. J))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  <.cop 3046   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  ran crn 3987   |` cres 3988   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  (,)cioo 7524  (,]cioc 7525  [,)cico 7526  [,]cicc 7527  abscabs 8000  Topctop 8857  topGenctg 8860  Opencopn 9069  subSpcsubsp 10242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-ioc 7529  df-ico 7530  df-icc 7531  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain