Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reconnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reconnlem1 22437
 Description: Lemma for reconn 22439. Connectedness in the reals-easy direction. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconnlem1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem reconnlem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 788 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con)
2 retopon 22377 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
32a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4 simplll 794 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 iooretop 22379 . . . . . . 7 (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,))
65a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞(,)𝑧) ∈ (topGen‘ran (,)))
7 iooretop 22379 . . . . . . 7 (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
87a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
9 simplrl 796 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋𝐴)
104, 9sseldd 3569 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ ℝ)
11 mnflt 11833 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → -∞ < 𝑋)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑋)
13 eldifn 3695 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑧𝐴)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧𝐴)
15 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 𝑧 → (𝑋𝐴𝑧𝐴))
169, 15syl5ibcom 234 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 = 𝑧𝑧𝐴))
1714, 16mtod 188 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑋 = 𝑧)
18 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌))
20 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌𝐴)
214, 20sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ ℝ)
22 elicc2 12109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌)))
2310, 21, 22syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌)))
2419, 23mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑧𝑧𝑌))
2524simp2d 1067 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋𝑧)
2624simp1d 1066 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ)
2710, 26leloed 10059 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋𝑧 ↔ (𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧)))
2825, 27mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧))
2928ord 391 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑋 < 𝑧𝑋 = 𝑧))
3017, 29mt3d 139 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 < 𝑧)
31 mnfxr 9975 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
3226rexrd 9968 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
33 elioo2 12087 . . . . . . . . 9 ((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋𝑋 < 𝑧)))
3431, 32, 33sylancr 694 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑋𝑋 < 𝑧)))
3510, 12, 30, 34mpbir3and 1238 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧))
36 inelcm 3984 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (-∞(,)𝑧) ∧ 𝑋𝐴) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
3735, 9, 36syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
38 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑌 → (𝑧𝐴𝑌𝐴))
3920, 38syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 = 𝑌𝑧𝐴))
4014, 39mtod 188 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑧 = 𝑌)
4124simp3d 1068 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧𝑌)
4226, 21leloed 10059 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧𝑌 ↔ (𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌)))
4341, 42mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌))
4443ord 391 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (¬ 𝑧 < 𝑌𝑧 = 𝑌))
4540, 44mt3d 139 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < 𝑌)
46 ltpnf 11830 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ → 𝑌 < +∞)
4721, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 < +∞)
48 pnfxr 9971 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
49 elioo2 12087 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌𝑌 < +∞)))
5032, 48, 49sylancl 693 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑌𝑌 < +∞)))
5121, 45, 47, 50mpbir3and 1238 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞))
52 inelcm 3984 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ (𝑧(,)+∞) ∧ 𝑌𝐴) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
5351, 20, 52syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((𝑧(,)+∞) ∩ 𝐴) ≠ ∅)
54 inss1 3795 . . . . . . 7 (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞))
5532, 31jctil 558 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*))
5632, 48jctir 559 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*))
5726leidd 10473 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧𝑧)
58 ioodisj 12173 . . . . . . . 8 ((((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) ∧ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) ∧ 𝑧𝑧) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
5955, 56, 57, 58syl21anc 1317 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅)
60 sseq0 3927 . . . . . . 7 (((((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∧ ((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
6154, 59, 60sylancr 694 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∩ (𝑧(,)+∞)) ∩ 𝐴) = ∅)
6231a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
6348a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → +∞ ∈ ℝ*)
64 mnflt 11833 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → -∞ < 𝑧)
6526, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → -∞ < 𝑧)
66 ltpnf 11830 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 < +∞)
6726, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝑧 < +∞)
68 ioojoin 12174 . . . . . . . . . 10 (((-∞ ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝑧𝑧 < +∞)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
6962, 32, 63, 65, 67, 68syl32anc 1326 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
70 unass 3732 . . . . . . . . . 10 (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞)))
71 un12 3733 . . . . . . . . . 10 ((-∞(,)𝑧) ∪ ({𝑧} ∪ (𝑧(,)+∞))) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
7270, 71eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (((-∞(,)𝑧) ∪ {𝑧}) ∪ (𝑧(,)+∞)) = ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
73 ioomax 12119 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
7469, 72, 733eqtr3g 2667 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) = ℝ)
754, 74sseqtr4d 3605 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
76 disjsn 4192 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝐴)
7714, 76sylibr 223 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
78 disjssun 3988 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → (𝐴 ⊆ ({𝑧} ∪ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))) ↔ 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞))))
8075, 79mpbid 221 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ((-∞(,)𝑧) ∪ (𝑧(,)+∞)))
813, 4, 6, 8, 37, 53, 61, 80nconsubb 21036 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴)) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con)
8281ex 449 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) → ¬ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con))
831, 82mt2d 130 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ¬ 𝑧 ∈ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴))
8483eq0rdv 3931 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
85 ssdif0 3896 . 2 ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑋[,]𝑌) ∖ 𝐴) = ∅)
8684, 85sylibr 223 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Con) ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049   ↾t crest 15904  topGenctg 15921  TopOnctopon 20518  Conccon 21024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-con 21025 This theorem is referenced by:  reconn  22439
 Copyright terms: Public domain W3C validator