Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccld 22380
 Description: Closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by FL, 14-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
icccld ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icccld
StepHypRef Expression
1 difreicc 12175 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)))
2 retop 22375 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
3 iooretop 22379 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
4 iooretop 22379 . . . 4 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
5 unopn 20533 . . . 4 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
62, 3, 4, 5mp3an 1416 . . 3 ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐵(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,))
71, 6syl6eqel 2696 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,)))
8 iccssre 12126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 uniretop 22376 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
109iscld2 20642 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))))
112, 8, 10sylancr 694 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ∈ (topGen‘ran (,))))
127, 11mpbird 246 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  topGenctg 15921  Topctop 20517  Clsdccld 20630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-cld 20633 This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  22535  cvmliftlem10  30530  mblfinlem1  32616  mblfinlem2  32617  icccmpALT  32810
 Copyright terms: Public domain W3C validator