Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem59 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem59 39058
 Description: The derivative of 𝐻 is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem59.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem59.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem59.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem59.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem59.n0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem59.fdv (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
fourierdlem59.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem59.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem59 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem59
StepHypRef Expression
1 fourierdlem59.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 fourierdlem59.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
5 elioore 12076 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
74, 6readdcld 9948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
82, 7ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
9 fourierdlem59.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
118, 10resubcld 10337 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
12 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 0 ↔ 0 = 𝑠)
1312biimpi 205 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 0 → 0 = 𝑠)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 = 𝑠)
15 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1716adantll 746 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18 fourierdlem59.n0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1918ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 19pm2.65da 598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
2120neqned 2789 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
2211, 6, 21redivcld 10732 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠) ∈ ℝ)
23 fourierdlem59.h . . . . 5 𝐻 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠))
2422, 23fmptd 6292 . . . 4 (𝜑𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
25 ioossre 12106 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
27 dvfre 23520 . . . 4 ((𝐻:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
2824, 26, 27syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ)
29 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ V)
31 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
32 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))
3330, 11, 6, 31, 32offval2 6812 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / 𝑠)))
3433, 23syl6reqr 2663 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)))
3534oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))))
36 reelprrecn 9907 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3736a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3811recnd 9947 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
39 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))
4038, 39fmptd 6292 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
416recnd 9947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
42 eldifsn 4260 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑠 ∈ ℂ ∧ 𝑠 ≠ 0))
4341, 21, 42sylanbrc 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)
4543, 44fmptd 6292 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠):(𝐴(,)𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
46 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
47 eqidd 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))
4830, 8, 10, 46, 47offval2 6812 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)))
4948eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) = ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)))
5049oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))))
518recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
52 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
5351, 52fmptd 6292 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
5410recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
55 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)
5654, 55fmptd 6292 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
57 fourierdlem59.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
58 fourierdlem59.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
59 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
60 fourierdlem59.fdv . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ))
61 cncff 22504 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
631, 3, 57, 58, 59, 62fourierdlem28 39028 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
64 ioosscn 38563 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ⊆ ℂ)
66 ax-resscn 9872 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6862, 67fssd 5970 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ)
69 ssid 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
71 cncffvrn 22509 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℝ)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7270, 60, 71syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ) ↔ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℂ))
7368, 72mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) ∈ (((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))–cn→ℂ))
74 ioosscn 38563 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
763recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
773, 57readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
7877rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ*)
803, 58readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
8180rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ*)
8357adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8483rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8558rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
87 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
88 ioogtlb 38564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
8984, 86, 87, 88syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
9083, 6, 4, 89ltadd2dd 10075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
9158adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
92 iooltub 38582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
9384, 86, 87, 92syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
946, 91, 4, 93ltadd2dd 10075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
9579, 82, 7, 90, 94eliood 38567 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
9665, 73, 75, 76, 95fourierdlem23 39023 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
9763, 96eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
98 iooretop 22379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
99 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10099tgioo2 22414 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
10198, 100eleqtri 2686 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
1039recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
10437, 102, 103dvmptconst 38803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
105 0cnd 9912 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
10675, 105, 70constcncfg 38756 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
107104, 106eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10837, 53, 56, 97, 107dvsubcncf 38814 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∘𝑓 − (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10950, 108eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11037, 102dvmptidg 38805 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
111 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11275, 111, 70constcncfg 38756 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
113110, 112eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11437, 40, 45, 109, 113dvdivcncf 38817 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∘𝑓 / (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
11535, 114eqeltrd 2688 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
116 cncff 22504 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
117 fdm 5964 . . . . 5 ((ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
118115, 116, 1173syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐻) = (𝐴(,)𝐵))
119118feq2d 5944 . . 3 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻):dom (ℝ D 𝐻)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12028, 119mpbid 221 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
121 cncffvrn 22509 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
12267, 115, 121syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (ℝ D 𝐻):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
123120, 122mpbird 246 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐻) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  (,)cioo 12046   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  –cn→ccncf 22487   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  fourierdlem72  39071
 Copyright terms: Public domain W3C validator