Theorem fourierdlem59 38141

Description: The derivative of H is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem59.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem59.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem59.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem59.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem59.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem59.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem59.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem59.h	|- H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem59	|- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem59

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem59.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2	1	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
3		fourierdlem59.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR )
4	3	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
5		elioore 11691	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
6	5	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
7	4, 6	readdcld 9688	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
8	2, 7	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
9		fourierdlem59.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
10	9	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
11	8, 10	resubcld 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
12		eqcom 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
13	12	biimpi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = 0 -> 0 = s )
14	13	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 = s )
15		simpl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
16	14, 15	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
17	16	adantll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
18		fourierdlem59.n0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
19	18	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
20	17, 19	pm2.65da 586	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
21	20	neqned 2650	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
22	11, 6, 21	redivcld 10457	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) e. RR )
23		fourierdlem59.h	. . . . 5 |- H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )
24	22, 23	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ph -> H : ( A (,) B ) --> RR )
25		ioossre 11721	. . . . 5 |- ( A (,) B ) C_ RR
26	25	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
27		dvfre 22984	. . . 4 |- ( ( H : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR )
28	24, 26, 27	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR )
29		ovex 6336	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) e. _V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. _V )
31		eqidd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) )
32		eqidd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) )
33	30, 11, 6, 31, 32	offval2 6567	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) )
34	33, 23	syl6reqr 2524	. . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) )
35	34	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D H ) = ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) ) )
36		reelprrecn 9649	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
38	11	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
39		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) )
40	38, 39	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
41	6	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
42		eldifsn 4088	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( s e. CC /\ s =/= 0 ) )
43	41, 21, 42	sylanbrc 677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
44		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> s )
45	43, 44	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) : ( A (,) B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
46		eqidd 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
47		eqidd 2472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) )
48	30, 8, 10, 46, 47	offval2 6567	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) )
49	48	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) )
50	49	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) ) )
51	8	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
52		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
53	51, 52	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
54	10	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
55		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> C )
56	54, 55	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) : ( A (,) B ) --> CC )
57		fourierdlem59.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
58		fourierdlem59.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
59		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
60		fourierdlem59.fdv	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
61		cncff 22003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
63	1, 3, 57, 58, 59, 62	fourierdlem28 38109	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
64		ioosscn 37687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ CC
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ CC )
66		ax-resscn 9614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> RR C_ CC )
68	62, 67	fssd 5750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC )
69		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC C_ CC )
71		cncffvrn 22008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC C_ CC /\ ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) <-> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC ) )
72	70, 60, 71	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) <-> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC ) )
73	68, 72	mpbird 240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) )
74		ioosscn 37687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) C_ CC
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
76	3	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. CC )
77	3, 57	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
78	77	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
79	78	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
80	3, 58	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
81	80	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
82	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
83	57	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
84	83	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
85	58	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
86	85	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
87		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
88		ioogtlb 37688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
89	84, 86, 87, 88	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
90	83, 6, 4, 89	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
91	58	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
92		iooltub 37706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
93	84, 86, 87, 92	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
94	6, 91, 4, 93	ltadd2dd 9811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
95	79, 82, 7, 90, 94	eliood 37691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
96	65, 73, 75, 76, 95	fourierdlem23 38104	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
97	63, 96	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
98		iooretop 21864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
99		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
100	99	tgioo2 21899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
101	98, 100	eleqtri 2547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
103	9	recnd 9687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
104	37, 102, 103	dvmptconst 37882	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
105		0cnd 9654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
106	75, 105, 70	constcncfg 37845	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
107	104, 106	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
108	37, 53, 56, 97, 107	dvsubcncf 37893	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
109	50, 108	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
110	37, 102	dvmptidg 37884	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
111		1cnd 9677	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
112	75, 111, 70	constcncfg 37845	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
113	110, 112	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
114	37, 40, 45, 109, 113	dvdivcncf 37896	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
115	35, 114	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116		cncff 22003	. . . . 5 |- ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> CC )
117		fdm 5745	. . . . 5 |- ( ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> CC -> dom ( RR _D H ) = ( A (,) B ) )
118	115, 116, 117	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D H ) = ( A (,) B ) )
119	118	feq2d 5725	. . 3 |- ( ph -> ( ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
120	28, 119	mpbid 215	. 2 |- ( ph -> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR )
121		cncffvrn 22008	. . 3 |- ( ( RR C_ CC /\ ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
122	67, 115, 121	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
123	120, 122	mpbird 240	1 |- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   - cmin 9880   / cdiv 10291   (,)cioo 11660   ↾_t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂ_fldccnfld 19047   -cn->ccncf 21986   _D cdv 22897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  38154