Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem59 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fourierdlem59 38141
Description: The derivative of  H is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem59.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem59.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem59.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem59.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem59.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem59.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem59.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem59.h  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem59  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem59
StepHypRef Expression
1 fourierdlem59.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
3 fourierdlem59.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
43adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
5 elioore 11691 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
65adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
74, 6readdcld 9688 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
82, 7ffvelrnd 6038 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
9 fourierdlem59.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
109adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
118, 10resubcld 10068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
12 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
1312biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
1413adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
15 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
1614, 15eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
1716adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
18 fourierdlem59.n0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
1918ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
2017, 19pm2.65da 586 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
2120neqned 2650 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
2211, 6, 21redivcld 10457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  RR )
23 fourierdlem59.h . . . . 5  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
2422, 23fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> RR )
25 ioossre 11721 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
27 dvfre 22984 . . . 4  |-  ( ( H : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  H ) : dom  ( RR  _D  H
) --> RR )
2824, 26, 27syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
) : dom  ( RR  _D  H ) --> RR )
29 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  _V )
31 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )
32 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )
3330, 11, 6, 31, 32offval2 6567 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) )  oF  /  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s ) ) )
3433, 23syl6reqr 2524 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) )  oF  / 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s ) ) )
3534oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) )  oF  /  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) ) ) )
36 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
3811recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
39 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) )
4038, 39fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
416recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
42 eldifsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( s  e.  CC  /\  s  =/=  0 ) )
4341, 21, 42sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
44 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  s )
4543, 44fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s ) : ( A (,) B ) --> ( CC  \  {
0 } ) )
46 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )
47 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )
4830, 8, 10, 46, 47offval2 6567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )
4948eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  =  ( ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C ) ) )
5049oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C ) ) ) )
518recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
52 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )
5351, 52fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5410recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
55 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C )
5654, 55fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C ) : ( A (,) B ) --> CC )
57 fourierdlem59.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
58 fourierdlem59.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
59 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
60 fourierdlem59.fdv . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
61 cncff 22003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
631, 3, 57, 58, 59, 62fourierdlem28 38109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
64 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  C_  CC
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  CC )
66 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
6862, 67fssd 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> CC )
69 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
71 cncffvrn 22008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> CC )  <-> 
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> CC ) )
7270, 60, 71syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> CC )  <->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> CC ) )
7368, 72mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> CC ) )
74 ioosscn 37687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  CC
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
763recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
773, 57readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
7877rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
803, 58readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
8180rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
8357adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
8483rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
8558rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
87 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
88 ioogtlb 37688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
8984, 86, 87, 88syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
9083, 6, 4, 89ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
9158adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
92 iooltub 37706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
9384, 86, 87, 92syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
946, 91, 4, 93ltadd2dd 9811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
9579, 82, 7, 90, 94eliood 37691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
9665, 73, 75, 76, 95fourierdlem23 38104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
9763, 96eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
98 iooretop 21864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
99 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
10099tgioo2 21899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
10198, 100eleqtri 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
1039recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
10437, 102, 103dvmptconst 37882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
105 0cnd 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
10675, 105, 70constcncfg 37845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
107104, 106eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
10837, 53, 56, 97, 107dvsubcncf 37893 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
10950, 108eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11037, 102dvmptidg 37884 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
111 1cnd 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
11275, 111, 70constcncfg 37845 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
113110, 112eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11437, 40, 45, 109, 113dvdivcncf 37896 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  oF  /  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
11535, 114eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
116 cncff 22003 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> CC )
117 fdm 5745 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  dom  ( RR  _D  H
)  =  ( A (,) B ) )
118115, 116, 1173syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  H )  =  ( A (,) B ) )
119118feq2d 5725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  H ) : dom  ( RR  _D  H
) --> RR  <->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
12028, 119mpbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
) : ( A (,) B ) --> RR )
121 cncffvrn 22008 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( RR  _D  H
) : ( A (,) B ) --> RR ) )
12267, 115, 121syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> RR )  <->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
123120, 122mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   RR*cxr 9692    < clt 9693    - cmin 9880    / cdiv 10291   (,)cioo 11660   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   -cn->ccncf 21986    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-t1 20407  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  38154
  Copyright terms: Public domain W3C validator