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Theorem fourierdlem59 31902
Description: The derivative of  H is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem59.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem59.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem59.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem59.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem59.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem59.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem59.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem59.h  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem59  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem59
StepHypRef Expression
1 fourierdlem59.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
3 fourierdlem59.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
43adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
5 elioore 11570 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
65adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
74, 6readdcld 9626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
82, 7ffvelrnd 6017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
9 fourierdlem59.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
118, 10resubcld 9994 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
12 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
1312biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
1413adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
15 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
1614, 15eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
1716adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
18 fourierdlem59.n0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
1918ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
2017, 19pm2.65da 576 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
2120neqned 2646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
2211, 6, 21redivcld 10379 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  RR )
23 fourierdlem59.h . . . . 5  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
2422, 23fmptd 6040 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> RR )
25 ioossre 11597 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
27 dvfre 22332 . . . 4  |-  ( ( H : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  H ) : dom  ( RR  _D  H
) --> RR )
2824, 26, 27syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
) : dom  ( RR  _D  H ) --> RR )
29 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  _V )
31 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )
32 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )
3330, 11, 6, 31, 32offval2 6541 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) )  oF  /  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s ) ) )
3433, 23syl6reqr 2503 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) )  oF  / 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s ) ) )
3534oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) )  oF  /  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) ) ) )
36 reelprrecn 9587 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
3811recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
39 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) )
4038, 39fmptd 6040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
416recnd 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
42 eldifsn 4140 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( s  e.  CC  /\  s  =/=  0 ) )
4341, 21, 42sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
44 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  s )
4543, 44fmptd 6040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s ) : ( A (,) B ) --> ( CC  \  {
0 } ) )
46 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )
47 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )
4830, 8, 10, 46, 47offval2 6541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )
4948eqcomd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  =  ( ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C ) ) )
5049oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C ) ) ) )
518recnd 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
52 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )
5351, 52fmptd 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5410recnd 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
55 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C )
5654, 55fmptd 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C ) : ( A (,) B ) --> CC )
57 fourierdlem59.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
58 fourierdlem59.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
59 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
60 fourierdlem59.fdv . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
61 cncff 21375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
631, 3, 57, 58, 59, 62fourierdlem28 31871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
64 ioosscn 31481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  C_  CC
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  CC )
66 ax-resscn 9552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
6862, 67fssd 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> CC )
69 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
71 cncffvrn 21380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> CC )  <-> 
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> CC ) )
7270, 60, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> CC )  <->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> CC ) )
7368, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> CC ) )
74 ioosscn 31481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  CC
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
763recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
773, 57readdcld 9626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
7877rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
803, 58readdcld 9626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
8180rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
8357adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
8483rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
8558rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
87 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
88 ioogtlb 31482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
8984, 86, 87, 88syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
9083, 6, 4, 89ltadd2dd 9744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
9158adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
92 iooltub 31502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
9384, 86, 87, 92syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
946, 91, 4, 93ltadd2dd 9744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
9579, 82, 7, 90, 94eliood 31485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
9665, 73, 75, 76, 95fourierdlem23 31866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
9763, 96eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
98 iooretop 21251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
99 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
10099tgioo2 21286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
10198, 100eleqtri 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
1039recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
10437, 102, 103dvmptconst 31664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
105 0cnd 9592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
10675, 105, 70constcncfg 31627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
107104, 106eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
10837, 53, 56, 97, 107dvsubcncf 31675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
10950, 108eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11037, 102dvmptidg 31666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
111 1cnd 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
11275, 111, 70constcncfg 31627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
113110, 112eqeltrd 2531 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11437, 40, 45, 109, 113dvdivcncf 31678 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  oF  /  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
11535, 114eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
116 cncff 21375 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> CC )
117 fdm 5725 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  dom  ( RR  _D  H
)  =  ( A (,) B ) )
118115, 116, 1173syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  H )  =  ( A (,) B ) )
119118feq2d 5708 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  H ) : dom  ( RR  _D  H
) --> RR  <->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
12028, 119mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
) : ( A (,) B ) --> RR )
121 cncffvrn 21380 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( RR  _D  H
) : ( A (,) B ) --> RR ) )
12267, 115, 121syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> RR )  <->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
123120, 122mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4014   {cpr 4016   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990    |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   RR*cxr 9630    < clt 9631    - cmin 9810    / cdiv 10213   (,)cioo 11540   ↾t crest 14800   TopOpenctopn 14801   topGenctg 14817  ℂfldccnfld 18399   -cn->ccncf 21358    _D cdv 22245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-t1 19793  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  31915
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