Theorem fourierdlem59 31902

Description: The derivative of H is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem59.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem59.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem59.a	|- ( ph -> A e. RR )
fourierdlem59.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem59.n0	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem59.fdv	|- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem59.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem59.h	|- H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem59	|- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   C, s   F, s   X, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem59

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem59.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
3		fourierdlem59.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. RR )
4	3	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
5		elioore 11570	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
6	5	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
7	4, 6	readdcld 9626	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
8	2, 7	ffvelrnd 6017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
9		fourierdlem59.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
10	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. RR )
11	8, 10	resubcld 9994	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. RR )
12		eqcom 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = 0 <-> 0 = s )
13	12	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = 0 -> 0 = s )
14	13	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 = s )
15		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> s e. ( A (,) B ) )
16	14, 15	eqeltrd 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
17	16	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
18		fourierdlem59.n0	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
19	18	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
20	17, 19	pm2.65da 576	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
21	20	neqned 2646	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
22	11, 6, 21	redivcld 10379	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) e. RR )
23		fourierdlem59.h	. . . . 5 |- H = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) )
24	22, 23	fmptd 6040	. . . 4 |- ( ph -> H : ( A (,) B ) --> RR )
25		ioossre 11597	. . . . 5 |- ( A (,) B ) C_ RR
26	25	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
27		dvfre 22332	. . . 4 |- ( ( H : ( A (,) B ) --> RR /\ ( A (,) B ) C_ RR ) -> ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR )
28	24, 26, 27	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR )
29		ovex 6309	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) e. _V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. _V )
31		eqidd 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) )
32		eqidd 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) )
33	30, 11, 6, 31, 32	offval2 6541	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) / s ) ) )
34	33, 23	syl6reqr 2503	. . . . . . 7 |- ( ph -> H = ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) )
35	34	oveq2d 6297	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D H ) = ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) ) )
36		reelprrecn 9587	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
38	11	recnd 9625	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) e. CC )
39		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) )
40	38, 39	fmptd 6040	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
41	6	recnd 9625	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
42		eldifsn 4140	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( s e. CC /\ s =/= 0 ) )
43	41, 21, 42	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
44		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> s )
45	43, 44	fmptd 6040	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) : ( A (,) B ) --> ( CC \ { 0 } ) )
46		eqidd 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) )
47		eqidd 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) )
48	30, 8, 10, 46, 47	offval2 6541	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) )
49	48	eqcomd 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) = ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) )
50	49	oveq2d 6297	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) = ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) ) )
51	8	recnd 9625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
52		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) )
53	51, 52	fmptd 6040	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) : ( A (,) B ) --> CC )
54	10	recnd 9625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> C e. CC )
55		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> C )
56	54, 55	fmptd 6040	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) : ( A (,) B ) --> CC )
57		fourierdlem59.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
58		fourierdlem59.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
59		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) = ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) )
60		fourierdlem59.fdv	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) )
61		cncff 21375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> RR )
63	1, 3, 57, 58, 59, 62	fourierdlem28 31871	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
64		ioosscn 31481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ CC
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) C_ CC )
66		ax-resscn 9552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> RR C_ CC )
68	62, 67	fssd 5730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC )
69		ssid 3508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- CC C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> CC C_ CC )
71		cncffvrn 21380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( CC C_ CC /\ ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> RR ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) <-> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC ) )
72	70, 60, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) <-> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) : ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) --> CC ) )
73	68, 72	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) e. ( ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) -cn-> CC ) )
74		ioosscn 31481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) C_ CC
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
76	3	recnd 9625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. CC )
77	3, 57	readdcld 9626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR )
78	77	rexrd 9646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + A ) e. RR* )
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) e. RR* )
80	3, 58	readdcld 9626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR )
81	80	rexrd 9646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X + B ) e. RR* )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) e. RR* )
83	57	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
84	83	rexrd 9646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
85	58	rexrd 9646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
86	85	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
87		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
88		ioogtlb 31482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
89	84, 86, 87, 88	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
90	83, 6, 4, 89	ltadd2dd 9744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
91	58	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
92		iooltub 31502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
93	84, 86, 87, 92	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
94	6, 91, 4, 93	ltadd2dd 9744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
95	79, 82, 7, 90, 94	eliood 31485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) )
96	65, 73, 75, 76, 95	fourierdlem23 31866	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D ( F |` ( ( X + A ) (,) ( X + B ) ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
97	63, 96	eqeltrd 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
98		iooretop 21251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )
99		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
100	99	tgioo2 21286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
101	98, 100	eleqtri 2529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
103	9	recnd 9625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
104	37, 102, 103	dvmptconst 31664	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) )
105		0cnd 9592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. CC )
106	75, 105, 70	constcncfg 31627	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> 0 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
107	104, 106	eqeltrd 2531	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
108	37, 53, 56, 97, 107	dvsubcncf 31675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) oF - ( s e. ( A (,) B ) |-> C ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
109	50, 108	eqeltrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
110	37, 102	dvmptidg 31666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
111		1cnd 9615	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
112	75, 111, 70	constcncfg 31627	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
113	110, 112	eqeltrd 2531	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
114	37, 40, 45, 109, 113	dvdivcncf 31678	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - C ) ) oF / ( s e. ( A (,) B ) |-> s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
115	35, 114	eqeltrd 2531	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116		cncff 21375	. . . . 5 |- ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) -> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> CC )
117		fdm 5725	. . . . 5 |- ( ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> CC -> dom ( RR _D H ) = ( A (,) B ) )
118	115, 116, 117	3syl 20	. . . 4 |- ( ph -> dom ( RR _D H ) = ( A (,) B ) )
119	118	feq2d 5708	. . 3 |- ( ph -> ( ( RR _D H ) : dom ( RR _D H ) --> RR <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
120	28, 119	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR )
121		cncffvrn 21380	. . 3 |- ( ( RR C_ CC /\ ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
122	67, 115, 121	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) <-> ( RR _D H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
123	120, 122	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( RR _D H ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   _Vcvv 3095   \ cdif 3458   C_ wss 3461   {csn 4014   {cpr 4016   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990   |` cres 4991   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   oFcof 6523   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496   + caddc 9498   RR*cxr 9630   < clt 9631   - cmin 9810   / cdiv 10213   (,)cioo 11540   ↾_t crest 14800   TopOpenctopn 14801   topGenctg 14817  ℂ_fldccnfld 18399   -cn->ccncf 21358   _D cdv 22245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-t1 19793  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249

This theorem is referenced by:  fourierdlem72  31915