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Theorem fourierdlem59 38029
Description: The derivative of  H is continuous on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem59.f  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
fourierdlem59.x  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
fourierdlem59.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
fourierdlem59.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
fourierdlem59.n0  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
fourierdlem59.fdv  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
fourierdlem59.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
fourierdlem59.h  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem59  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    F, s    X, s    ph, s
Allowed substitution hint:    H( s)

Proof of Theorem fourierdlem59
StepHypRef Expression
1 fourierdlem59.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
21adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  F : RR
--> RR )
3 fourierdlem59.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
43adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  X  e.  RR )
5 elioore 11666 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  ->  s  e.  RR )
65adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  RR )
74, 6readdcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  RR )
82, 7ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  RR )
9 fourierdlem59.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
109adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR )
118, 10resubcld 10047 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  RR )
12 eqcom 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  0  <->  0  =  s )
1312biimpi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  0  ->  0  =  s )
1413adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  =  s )
15 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
1614, 15eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( A (,) B )  /\  s  =  0 )  ->  0  e.  ( A (,) B ) )
1716adantll 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  -> 
0  e.  ( A (,) B ) )
18 fourierdlem59.n0 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
1918ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  =  0 )  ->  -.  0  e.  ( A (,) B ) )
2017, 19pm2.65da 580 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  -.  s  =  0 )
2120neqned 2631 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  =/=  0 )
2211, 6, 21redivcld 10435 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( (
( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s )  e.  RR )
23 fourierdlem59.h . . . . 5  |-  H  =  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C )  /  s
) )
2422, 23fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  H : ( A (,) B ) --> RR )
25 ioossre 11696 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR
2625a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
27 dvfre 22905 . . . 4  |-  ( ( H : ( A (,) B ) --> RR 
/\  ( A (,) B )  C_  RR )  ->  ( RR  _D  H ) : dom  ( RR  _D  H
) --> RR )
2824, 26, 27syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
) : dom  ( RR  _D  H ) --> RR )
29 ovex 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( A (,) B )  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  _V )
31 eqidd 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )
32 eqidd 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )
3330, 11, 6, 31, 32offval2 6548 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) )  oF  /  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C )  /  s ) ) )
3433, 23syl6reqr 2504 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  =  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) )  oF  / 
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s ) ) )
3534oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  =  ( RR 
_D  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) )  oF  /  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) ) ) )
36 reelprrecn 9631 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
3811recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C )  e.  CC )
39 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( ( F `
 ( X  +  s ) )  -  C ) )
4038, 39fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
416recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  CC )
42 eldifsn 4097 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( s  e.  CC  /\  s  =/=  0 ) )
4341, 21, 42sylanbrc 670 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
44 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  s )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  s )
4543, 44fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  s ) : ( A (,) B ) --> ( CC  \  {
0 } ) )
46 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )
47 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )
4830, 8, 10, 46, 47offval2 6548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s ) )  -  C ) ) )
4948eqcomd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  =  ( ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C ) ) )
5049oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C ) ) ) )
518recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  ( X  +  s ) )  e.  CC )
52 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `
 ( X  +  s ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  ( F `  ( X  +  s
) ) )
5351, 52fmptd 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) ) : ( A (,) B ) --> CC )
5410recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  CC )
55 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  C )  =  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C )
5654, 55fmptd 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  C ) : ( A (,) B ) --> CC )
57 fourierdlem59.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
58 fourierdlem59.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
59 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  =  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )
60 fourierdlem59.fdv . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> RR ) )
61 cncff 21925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR )  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) --> RR )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> RR )
631, 3, 57, 58, 59, 62fourierdlem28 37997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) `
 ( X  +  s ) ) ) )
64 ioosscn 37591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) )  C_  CC
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
)  C_  CC )
66 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR  C_  CC
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
6862, 67fssd 5738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> CC )
69 ssid 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
71 cncffvrn 21930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> RR ) )  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) -cn-> CC )  <-> 
( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) ) : ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) --> CC ) )
7270, 60, 71syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) )
-cn-> CC )  <->  ( RR  _D  ( F  |`  (
( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) ) ) : ( ( X  +  A
) (,) ( X  +  B ) ) --> CC ) )
7368, 72mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B
) ) ) )  e.  ( ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) -cn-> CC ) )
74 ioosscn 37591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  CC
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
763recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
773, 57readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR )
7877rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  A
)  e.  RR* )
7978adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  e.  RR* )
803, 58readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR )
8180rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  B
)  e.  RR* )
8281adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  B )  e.  RR* )
8357adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
8483rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
8558rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
8685adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
87 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  e.  ( A (,) B ) )
88 ioogtlb 37592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  A  <  s )
8984, 86, 87, 88syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <  s )
9083, 6, 4, 89ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  A )  <  ( X  +  s )
)
9158adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
92 iooltub 37610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  s  e.  ( A (,) B
) )  ->  s  <  B )
9384, 86, 87, 92syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  s  <  B )
946, 91, 4, 93ltadd2dd 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  < 
( X  +  B
) )
9579, 82, 7, 90, 94eliood 37595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( X  +  s )  e.  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B )
) )
9665, 73, 75, 76, 95fourierdlem23 37992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( RR  _D  ( F  |`  ( ( X  +  A ) (,) ( X  +  B ) ) ) ) `  ( X  +  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
9763, 96eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( F `  ( X  +  s ) ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
98 iooretop 21786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
99 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
10099tgioo2 21821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
10198, 100eleqtri 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR ) )
1039recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
10437, 102, 103dvmptconst 37785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  0 ) )
105 0cnd 9636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
10675, 105, 70constcncfg 37748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  0 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
107104, 106eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  C ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
10837, 53, 56, 97, 107dvsubcncf 37796 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( F `  ( X  +  s )
) )  oF  -  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  C ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
10950, 108eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  ( ( F `  ( X  +  s )
)  -  C ) ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11037, 102dvmptidg 37787 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  =  ( s  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
111 1cnd 9659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
11275, 111, 70constcncfg 37748 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
113110, 112eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
s  e.  ( A (,) B )  |->  s ) )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
11437, 40, 45, 109, 113dvdivcncf 37799 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( s  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( ( F `  ( X  +  s
) )  -  C
) )  oF  /  ( s  e.  ( A (,) B
)  |->  s ) ) )  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
11535, 114eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
116 cncff 21925 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> CC )
117 fdm 5733 . . . . 5  |-  ( ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> CC  ->  dom  ( RR  _D  H
)  =  ( A (,) B ) )
118115, 116, 1173syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  H )  =  ( A (,) B ) )
119118feq2d 5715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  H ) : dom  ( RR  _D  H
) --> RR  <->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
12028, 119mpbid 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
) : ( A (,) B ) --> RR )
121 cncffvrn 21930 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> RR )  <-> 
( RR  _D  H
) : ( A (,) B ) --> RR ) )
12267, 115, 121syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  H )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> RR )  <->  ( RR  _D  H ) : ( A (,) B ) --> RR ) )
123120, 122mpbird 236 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  H
)  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    - cmin 9860    / cdiv 10269   (,)cioo 11635   ↾t crest 15319   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970   -cn->ccncf 21908    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-t1 20330  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
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