Theorem iooretop 21141

Description: Open intervals are open sets of the standard topology on the reals . (Contributed by FL, 18-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iooretop	|- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )

Proof of Theorem iooretop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retopbas 21135	. . 3 |- ran (,) e. TopBases
2		bastg 19336	. . 3 |- ( ran (,) e. TopBases -> ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ran (,) C_ ( topGen ` ran (,) )
4		ioorebas 11638	. 2 |- ( A (,) B ) e. ran (,)
5	3, 4	sselii 3506	1 |- ( A (,) B ) e. ( topGen ` ran (,) )

Syntax hints:   e. wcel 1767   C_ wss 3481   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   (,)cioo 11541   topGenctg 14710   TopBasesctb 19267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-ioo 11545  df-topgen 14716  df-bases 19270

This theorem is referenced by:  icccld  21142  icopnfcld  21143  iocmnfcld  21144  zcld  21186  iccntr  21194  reconnlem1  21199  reconnlem2  21200  icoopnst  21307  iocopnst  21308  dvlip  22262  dvlipcn  22263  dvivthlem1  22277  dvne0  22280  lhop2  22284  lhop  22285  dvfsumle  22290  dvfsumabs  22292  dvfsumlem2  22296  ftc1  22311  dvloglem  22895  advlog  22901  advlogexp  22902  cxpcn3  22988  loglesqrt  22998  log2sumbnd  23595  dya2iocbrsiga  28071  dya2icobrsiga  28072  lgamgulmlem2  28397  dvtanlem  29991  ftc1cnnc  30016  areacirclem1  30034  rfcnpre1  31296  rfcnpre2  31308  ioontr  31436  iocopn  31447  icoopn  31452  islptre  31484  limciccioolb  31486  limcicciooub  31502  limcresiooub  31507  limcresioolb  31508  icccncfext  31549  cncfiooicclem1  31555  itgsin0pilem1  31590  itgsbtaddcnst  31623  dirkercncflem2  31727  dirkercncflem3  31728  dirkercncflem4  31729  fourierdlem28  31758  fourierdlem32  31762  fourierdlem33  31763  fourierdlem48  31778  fourierdlem49  31779  fourierdlem56  31786  fourierdlem57  31787  fourierdlem59  31789  fourierdlem60  31790  fourierdlem61  31791  fourierdlem62  31792  fourierdlem68  31798  fourierdlem72  31802  fourierdlem73  31803  fourierdlem74  31804  fourierdlem75  31805  fouriersw  31855