Theorem fzss2 12252

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12209	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		elfzuz3 12210	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
4		uztrn 11580	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
5	3, 4	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6		elfzuzb 12207	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
7	2, 5, 6	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
8	7	ex 449	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝐾) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
9	8	ssrdv 3574	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑀...𝐾) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  fzssp1  12255  ssfzunsn  12257  elfz0add  12307  predfz  12333  fzoss2  12365  sermono  12695  seqsplit  12696  seqcaopr2  12699  seqf1olem2a  12701  seqf1olem2  12703  seqhomo  12710  seqz  12711  bcm1k  12964  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  isercoll  14246  fsum0diaglem  14350  fsum0diag2  14357  cvgcmpce  14391  mertenslem1  14455  prodfn0  14465  prodfrec  14466  binomfallfaclem2  14610  bpoly4  14629  eulerthlem2  15325  pcfac  15441  vdwnnlem2  15538  strlemor1  15796  strleun  15799  gsumzaddlem  18144  telgsumfzs  18209  imasdsf1olem  21988  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  coeeulem  23784  coeidlem  23797  coeid3  23800  coefv0  23808  coemulc  23815  vieta1lem2  23870  ppinprm  24678  chtnprm  24680  chpwordi  24683  chtublem  24736  bposlem1  24809  gausslemma2dlem2  24892  lgsquadlem3  24907  chebbnd1lem1  24958  vmadivsumb  24972  dchrvmasumiflem1  24990  mulog2sumlem2  25024  selbergb  25038  selberg2b  25041  chpdifbndlem1  25042  logdivbnd  25045  selberg3lem2  25047  pntrsumbnd  25055  pntlemq  25090  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  clwwlkvbij  26329  eupares  26502  eupath2lem3  26506  ballotlemimin  29894  ballotlemsdom  29900  ballotlemsel1i  29901  ballotlemsima  29904  ballotlemfrc  29915  ballotlemfrceq  29917  fzssfzo  29940  erdszelem7  30433  erdszelem8  30434  elfzm12  30823  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem4  32583  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem9  32588  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem22  32601  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem28  32607  poimirlem31  32610  mettrifi  32723  eldiophb  36338  eldioph2lem2  36342  diophrex  36357  fmul01  38647  fmulcl  38648  dvnprodlem2  38837  stoweidlem11  38904  stoweidlem17  38910  stoweidlem26  38919  iccpartres  39956  iccpartipre  39959  1wlkres  40879  crctcsh1wlkn0lem2  41014  clwwlksvbij  41229  av-extwwlkfablem2  41510