Theorem fzss2 11645

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 11605	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
2	1	adantl 464	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
3		elfzuz3 11606	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` k ) )
4		uztrn 11017	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
5	3, 4	sylan2 472	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6		elfzuzb 11603	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
7	2, 5, 6	sylanbrc 662	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( M ... N ) )
8	7	ex 432	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( M ... N ) ) )
9	8	ssrdv 3423	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1826   C_ wss 3389   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-neg 9721  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594

This theorem is referenced by:  fzssp1  11648  elfz0add  11697  elfz0addOLD  11698  fzoss2  11748  sermono  12042  seqsplit  12043  seqcaopr2  12046  seqf1olem2a  12048  seqf1olem2  12050  seqhomo  12057  seqz  12058  bcm1k  12295  seqcoll  12416  seqcoll2  12417  isercoll  13492  fsum0diaglem  13593  fsum0diag2  13600  cvgcmpce  13634  mertenslem1  13695  prodfn0  13705  prodfrec  13706  eulerthlem2  14314  pcfac  14420  vdwnnlem2  14516  strlemor1  14729  strleun  14732  gsumzaddlem  17051  gsumzaddlemOLD  17053  telgsumfzs  17131  imasdsf1olem  20961  plyaddlem1  22695  plymullem1  22696  coeeulem  22706  coeidlem  22719  coeid3  22722  coefv0  22730  coemulc  22737  vieta1lem2  22792  ppinprm  23543  chtnprm  23545  chpwordi  23548  chtublem  23603  bposlem1  23676  lgsquadlem3  23748  chebbnd1lem1  23771  vmadivsumb  23785  dchrvmasumiflem1  23803  mulog2sumlem2  23837  selbergb  23851  selberg2b  23854  chpdifbndlem1  23855  logdivbnd  23858  selberg3lem2  23860  pntrsumbnd  23868  pntlemq  23903  axlowdimlem16  24381  axlowdimlem17  24382  clwwlkvbij  24922  eupares  25096  eupath2lem3  25100  ballotlemimin  28627  ballotlemsdom  28633  ballotlemsel1i  28634  ballotlemsima  28637  ballotlemfrc  28648  ballotlemfrceq  28650  fzssfzo  28673  erdszelem7  28830  erdszelem8  28831  elfzm12  29230  binomfallfaclem2  29328  predfz  29448  bpoly4  29974  mettrifi  30416  eldiophb  30855  eldioph2lem2  30859  diophrex  30874  fmul01  31740  fmulcl  31741  dvnprodlem2  31910  stoweidlem11  31959  stoweidlem17  31965  stoweidlem26  31974