Theorem fzss2 11722

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 11683	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
2	1	adantl 466	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
3		elfzuz3 11684	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` k ) )
4		uztrn 11097	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
5	3, 4	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6		elfzuzb 11681	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
7	2, 5, 6	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( M ... N ) )
8	7	ex 434	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( M ... N ) ) )
9	8	ssrdv 3510	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1767   C_ wss 3476   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-neg 9807  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672

This theorem is referenced by:  fzssp1  11725  elfz0add  11773  fzoss2  11820  sermono  12106  seqsplit  12107  seqcaopr2  12110  seqf1olem2a  12112  seqf1olem2  12114  seqhomo  12121  seqz  12122  bcm1k  12360  seqcoll  12477  seqcoll2  12478  isercoll  13452  fsum0diaglem  13553  fsum0diag2  13560  cvgcmpce  13594  mertenslem1  13655  eulerthlem2  14170  pcfac  14276  vdwnnlem2  14372  strlemor1  14581  strleun  14584  gsumzaddlem  16734  gsumzaddlemOLD  16736  telgsumfzs  16818  imasdsf1olem  20627  plyaddlem1  22361  plymullem1  22362  coeeulem  22372  coeidlem  22385  coeid3  22388  coefv0  22395  coemulc  22402  vieta1lem2  22457  ppinprm  23170  chtnprm  23172  chpwordi  23175  chtublem  23230  bposlem1  23303  lgsquadlem3  23375  chebbnd1lem1  23398  vmadivsumb  23412  dchrvmasumiflem1  23430  mulog2sumlem2  23464  selbergb  23478  selberg2b  23481  chpdifbndlem1  23482  logdivbnd  23485  selberg3lem2  23487  pntrsumbnd  23495  pntlemq  23530  axlowdimlem16  23952  axlowdimlem17  23953  clwwlkvbij  24493  eupares  24667  eupath2lem3  24671  ballotlemimin  28100  ballotlemsdom  28106  ballotlemsel1i  28107  ballotlemsima  28110  ballotlemfrc  28121  ballotlemfrceq  28123  fzssfzo  28146  erdszelem7  28297  erdszelem8  28298  elfzm12  28532  prodfn0  28621  prodfrec  28622  binomfallfaclem2  28755  predfz  28876  bpoly4  29414  mettrifi  29869  eldiophb  30310  eldioph2lem2  30314  diophrex  30329  fmul01  31146  fmulcl  31147  stoweidlem11  31327  stoweidlem17  31333  stoweidlem26  31342