Theorem fzss2 11490

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 11441	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
2	1	adantl 466	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
3		elfzuz3 11442	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` k ) )
4		uztrn 10869	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
5	3, 4	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6		elfzuzb 11439	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
7	2, 5, 6	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( M ... N ) )
8	7	ex 434	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( M ... N ) ) )
9	8	ssrdv 3357	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   C_ wss 3323   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430

This theorem is referenced by:  fzssp1  11493  elfzelfzadd  11500  fzoss2  11569  sermono  11830  seqsplit  11831  seqcaopr2  11834  seqf1olem2a  11836  seqf1olem2  11838  seqhomo  11845  seqz  11846  bcm1k  12083  seqcoll  12208  seqcoll2  12209  isercoll  13137  fsum0diaglem  13235  fsum0diag2  13242  cvgcmpce  13273  mertenslem1  13336  eulerthlem2  13849  pcfac  13953  vdwnnlem2  14049  strlemor1  14257  strleun  14260  gsumzaddlem  16399  gsumzaddlemOLD  16401  imasdsf1olem  19923  plyaddlem1  21656  plymullem1  21657  coeeulem  21667  coeidlem  21680  coeid3  21683  coefv0  21690  coemulc  21697  vieta1lem2  21752  ppinprm  22465  chtnprm  22467  chpwordi  22470  chtublem  22525  bposlem1  22598  lgsquadlem3  22670  chebbnd1lem1  22693  vmadivsumb  22707  dchrvmasumiflem1  22725  mulog2sumlem2  22759  selbergb  22773  selberg2b  22776  chpdifbndlem1  22777  logdivbnd  22780  selberg3lem2  22782  pntrsumbnd  22790  pntlemq  22825  axlowdimlem16  23154  axlowdimlem17  23155  eupares  23547  eupath2lem3  23551  ballotlemimin  26840  ballotlemsdom  26846  ballotlemsel1i  26847  ballotlemsima  26850  ballotlemfrc  26861  ballotlemfrceq  26863  fzssfzo  26886  erdszelem7  27037  erdszelem8  27038  elfzm12  27271  prodfn0  27360  prodfrec  27361  binomfallfaclem2  27494  predfz  27615  bpoly4  28153  mettrifi  28606  eldiophb  29048  eldioph2lem2  29052  diophrex  29067  fmul01  29714  fmulcl  29715  stoweidlem11  29759  stoweidlem17  29765  stoweidlem26  29774  clwwlkvbij  30416