Theorem fzss2 11484

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 4-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss2	|- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 11435	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
2	1	adantl 463	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
3		elfzuz3 11436	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... K ) -> K e. ( ZZ>= ` k ) )
4		uztrn 10864	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` k ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
5	3, 4	sylan2 471	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6		elfzuzb 11433	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
7	2, 5, 6	sylanbrc 657	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` K ) /\ k e. ( M ... K ) ) -> k e. ( M ... N ) )
8	7	ex 434	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( k e. ( M ... K ) -> k e. ( M ... N ) ) )
9	8	ssrdv 3350	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M ... K ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1755   C_ wss 3316   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-neg 9585  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424

This theorem is referenced by:  fzssp1  11487  elfzelfzadd  11492  fzoss2  11560  sermono  11821  seqsplit  11822  seqcaopr2  11825  seqf1olem2a  11827  seqf1olem2  11829  seqhomo  11836  seqz  11837  bcm1k  12074  seqcoll  12199  seqcoll2  12200  isercoll  13128  fsum0diaglem  13226  fsum0diag2  13232  cvgcmpce  13263  mertenslem1  13326  eulerthlem2  13839  pcfac  13943  vdwnnlem2  14039  strlemor1  14247  strleun  14250  gsumzaddlem  16387  gsumzaddlemOLD  16389  imasdsf1olem  19789  plyaddlem1  21565  plymullem1  21566  coeeulem  21576  coeidlem  21589  coeid3  21592  coefv0  21599  coemulc  21606  vieta1lem2  21661  ppinprm  22374  chtnprm  22376  chpwordi  22379  chtublem  22434  bposlem1  22507  lgsquadlem3  22579  chebbnd1lem1  22602  vmadivsumb  22616  dchrvmasumiflem1  22634  mulog2sumlem2  22668  selbergb  22682  selberg2b  22685  chpdifbndlem1  22686  logdivbnd  22689  selberg3lem2  22691  pntrsumbnd  22699  pntlemq  22734  axlowdimlem16  23025  axlowdimlem17  23026  eupares  23418  eupath2lem3  23422  ballotlemimin  26735  ballotlemsdom  26741  ballotlemsel1i  26742  ballotlemsima  26745  ballotlemfrc  26756  ballotlemfrceq  26758  fzssfzo  26781  erdszelem7  26932  erdszelem8  26933  elfzm12  27166  prodfn0  27255  prodfrec  27256  binomfallfaclem2  27389  predfz  27510  bpoly4  28048  mettrifi  28494  eldiophb  28937  eldioph2lem2  28941  diophrex  28956  fmul01  29603  fmulcl  29604  stoweidlem11  29649  stoweidlem17  29655  stoweidlem26  29664  clwwlkvbij  30306