Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfzunsn 12257
 Description: A subset of a finite sequence of integers extended by an integer is a subset of a (possibly extended) finite sequence of integers. (Contributed by AV, 8-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssfzunsn ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))

Proof of Theorem ssfzunsn
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁))
2 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 eluzelz 11573 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
43adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
52, 4ifcld 4081 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
6 zre 11258 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7 eluzelre 11574 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐼 ∈ ℝ)
86, 7anim12i 588 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
98ancomd 466 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
10 max2 11892 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
12 eluz2 11569 . . . . . 6 (if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
132, 5, 11, 12syl3anbrc 1239 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑁))
14 fzss2 12252 . . . . 5 (if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ (ℤ𝑁) → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
16153adant1 1072 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
171, 16sstrd 3578 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑆 ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
18 eluzel2 11568 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
19183ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
2053adant1 1072 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ)
2133ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ ℤ)
2219, 20, 213jca 1235 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
23 eluzle 11576 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐼)
24233ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝐼)
2583adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ))
2625ancomd 466 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
27 max1 11890 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))
2924, 28jca 553 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝐼𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
30 elfz2 12204 . . . 4 (𝐼 ∈ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐼𝐼 ≤ if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼))))
3122, 29, 30sylanbrc 695 . . 3 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐼 ∈ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
3231snssd 4281 . 2 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → {𝐼} ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
3317, 32unssd 3751 1 ((𝑆 ⊆ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆 ∪ {𝐼}) ⊆ (𝑀...if(𝐼𝑁, 𝑁, 𝐼)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  setsstruct  15727
 Copyright terms: Public domain W3C validator