Theorem fzss1 12251

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12209	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		uztrn 11580	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anr 494	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		elfzuz3 12210	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7		elfzuzb 12207	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9	8	ex 449	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
10	9	ssrdv 3574	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  fzssnn  12256  fzp1ss  12262  ige2m1fz  12299  fzoss1  12364  fzossnn0  12368  sermono  12695  seqsplit  12696  seqf1olem2  12703  seqz  12711  bcpasc  12970  seqcoll2  13106  swrd0fv0  13292  swrd0fvlsw  13295  swrdswrd  13312  swrdccatin2  13338  swrdccatin12lem2c  13339  swrdccatin12  13342  mertenslem1  14455  reumodprminv  15347  prmgaplcmlem1  15593  structfn  15708  strleun  15799  efgsres  17974  efgredlemd  17980  efgredlem  17983  chfacfpmmulgsum2  20489  cpmadugsumlemF  20500  ply1termlem  23763  dvply1  23843  dvtaylp  23928  taylthlem2  23932  basellem5  24611  ppisval2  24631  ppiltx  24703  chtlepsi  24731  chtublem  24736  chpub  24745  gausslemma2dlem3  24893  2lgslem1a  24916  chtppilimlem1  24962  pntlemq  25090  pntlemf  25094  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  axlowdim  25641  extwwlkfablem2  26605  esumpmono  29468  ballotlem2  29877  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  ballotlemfrci  29916  ballotlemfrceq  29917  bcprod  30877  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem4  32583  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem14  32593  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem23  32602  poimirlem27  32606  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  fdc  32711  jm2.23  36581  stoweidlem11  38904  elaa2lem  39126  iccpartgel  39967  pfxfv0  40263  pfxfvlsw  40266  pfxccatin12  40288  pfxccatpfx2  40291  crctcsh1wlkn0lem3  41015