Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyaddlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Derive the coefficient function for the sum of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyaddlem.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyaddlem.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyaddlem.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plyaddlem1 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑧,𝑘,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘)   𝐵(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)

StepHypRef Expression
1 cnex 9896 . . . 4 ℂ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ V)
3 sumex 14266 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
5 sumex 14266 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
7 plyaddlem.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
8 plyaddlem.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
92, 4, 6, 7, 8offval2 6812 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
10 fzfid 12634 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∈ Fin)
11 elfznn0 12302 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 plyaddlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1413ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
15 expcl 12740 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
1615adantll 746 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
1714, 16mulcld 9939 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
1811, 17sylan2 490 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
19 plyaddlem.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2120ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2221, 16mulcld 9939 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2311, 22sylan2 490 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2410, 18, 23fsumadd 14317 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
25 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → 𝐴 Fn ℕ0)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
27 ffn 5958 . . . . . . . . . . 11 (𝐵:ℕ0⟶ℂ → 𝐵 Fn ℕ0)
2819, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 Fn ℕ0)
29 nn0ex 11175 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
31 inidm 3784 . . . . . . . . . 10 (ℕ0 ∩ ℕ0) = ℕ0
32 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑘))
33 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑘))
3426, 28, 30, 30, 31, 32, 33ofval 6804 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)))
3534adantlr 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)))
3635oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)))
3714, 21, 16adddird 9944 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) + (𝐵𝑘)) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
3836, 37eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
3911, 38sylan2 490 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → (((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
4039sumeq2dv 14281 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
41 plyaddlem.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4241nn0zd 11356 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43 plyaddlem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4443, 41ifcld 4081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 11356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
4641nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
4743nn0red 11229 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
48 max1 11890 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
4946, 47, 48syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
50 eluz2 11569 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5142, 45, 49, 50syl3anbrc 1239 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
52 fzss2 12252 . . . . . . . 8 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
5453adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
55 elfznn0 12302 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5655, 17sylan2 490 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
57 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
59 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
6059, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
63 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
6441, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
6564, 62syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
66 uzsplit 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6862, 67syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
6941nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
70 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
71 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7269, 70, 71sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
7372oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0...((𝑀 + 1) − 1)) = (0...𝑀))
7473uneq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7568, 74eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7675ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7761, 76eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
78 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
7977, 78sylib 207 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
8079ord 391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
8158, 80mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
82 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → Fun 𝐴)
8312, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐴)
84 ssun2 3739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
8584, 68syl5sseqr 3617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ℕ0)
86 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → dom 𝐴 = ℕ0)
8712, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
8885, 87sseqtr4d 3605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
89 funfvima2 6397 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
9083, 88, 89syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
9190ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
9281, 91mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
93 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
9493ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
9592, 94eleqtrd 2690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ {0})
96 elsni 4142 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑘) ∈ {0} → (𝐴𝑘) = 0)
9795, 96syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
9897oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
9960, 16sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
10099mul02d 10113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
10198, 100eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
10254, 56, 101, 10fsumss 14303 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
10343nn0zd 11356 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
104 max2 11892 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
10546, 47, 104syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
106 eluz2 11569 . . . . . . . . 9 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
107103, 45, 105, 106syl3anbrc 1239 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁))
108 fzss2 12252 . . . . . . . 8 (if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
110109adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ⊆ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
111 elfznn0 12302 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
112111, 22sylan2 490 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
113 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
114113adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
115 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
116115, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
117116adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
118 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
11943, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
120119, 62syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
121 uzsplit 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
12362, 122syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
12443nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
125 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
126124, 70, 125sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
127126oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
128127uneq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
129123, 128eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
130129ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
131117, 130eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
132 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
133131, 132sylib 207 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
134133ord 391 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
135114, 134mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
136 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵:ℕ0⟶ℂ → Fun 𝐵)
13719, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝐵)
138 ssun2 3739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
139138, 123syl5sseqr 3617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
140 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:ℕ0⟶ℂ → dom 𝐵 = ℕ0)
14119, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐵 = ℕ0)
142139, 141sseqtr4d 3605 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵)
143 funfvima2 6397 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐵 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
144137, 142, 143syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
145144ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
146135, 145mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
147 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
148147ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
149146, 148eleqtrd 2690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) ∈ {0})
150 elsni 4142 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑘) ∈ {0} → (𝐵𝑘) = 0)
151149, 150syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑘) = 0)
152151oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
153116, 16sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
154153mul02d 10113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
155152, 154eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
156110, 112, 155, 10fsumss 14303 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
157102, 156oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
15824, 40, 1573eqtr4d 2654 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
159158mpteq2dva 4672 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
1609, 159eqtr4d 2647 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))(((𝐴𝑓 + 𝐵)‘𝑘) · (𝑧𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   “ cima 5041  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  Polycply 23744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  plyaddlem  23775  coeaddlem  23809
 Copyright terms: Public domain W3C validator