MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max2 11892
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2
StepHypRef Expression
1 rexr 9964 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 9964 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmax2 11881 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
41, 2, 3syl2an 493 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cr 9814  *cxr 9952  cle 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959
This theorem is referenced by:  lemaxle  11900  z2ge  11903  ssfzunsn  12257  uzsup  12524  expmulnbnd  12858  discr1  12862  rexuzre  13940  caubnd  13946  limsupgre  14060  limsupbnd2  14062  rlim3  14077  lo1bdd2  14103  o1lo1  14116  rlimclim1  14124  lo1mul  14206  rlimno1  14232  cvgrat  14454  ruclem10  14807  bitsfzo  14995  1arith  15469  evth  22566  ioombl1lem4  23136  itg2monolem3  23325  itgle  23382  ibladdlem  23392  plyaddlem1  23773  coeaddlem  23809  o1cxp  24501  cxp2lim  24503  cxploglim2  24505  ftalem1  24599  ftalem2  24600  chtppilim  24964  dchrisumlem3  24980  ostth2lem2  25123  ostth2lem3  25124  ostth2lem4  25125  ostth3  25127  knoppndvlem18  31690  ibladdnclem  32636  ftc1anclem5  32659  irrapxlem4  36407  irrapxlem5  36408  climsuse  38675  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  hoidifhspdmvle  39510
  Copyright terms: Public domain W3C validator