Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coefv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coefv0 23808
 Description: The result of evaluating a polynomial at zero is the constant term. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
coefv0 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))

Proof of Theorem coefv0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9911 . . 3 0 ∈ ℂ
2 coefv0.1 . . . 4 𝐴 = (coeff‘𝐹)
3 eqid 2610 . . . 4 (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
42, 3coeid2 23799 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
51, 4mpan2 703 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
6 dgrcl 23793 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
7 nn0uz 11598 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
86, 7syl6eleq 2698 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘0))
9 fzss2 12252 . . . 4 ((deg‘𝐹) ∈ (ℤ‘0) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...0) ⊆ (0...(deg‘𝐹)))
11 elfz1eq 12223 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...0) → 𝑘 = 0)
12 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘0))
13 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = (0↑0))
14 0exp0e1 12727 . . . . . . . 8 (0↑0) = 1
1513, 14syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (0↑𝑘) = 1)
1612, 15oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
1711, 16syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...0) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
182coef3 23792 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 0nn0 11184 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
20 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2118, 19, 20sylancl 693 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2221mulid1d 9936 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
2317, 22sylan9eqr 2666 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
2421adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
2523, 24eqeltrd 2688 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) ∈ ℂ)
26 eldifn 3695 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...0))
27 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)))
28 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
30 elnn0 11171 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3129, 30sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3231ord 391 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 = 0))
33 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
34 0z 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
35 elfz3 12222 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ (0...0))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0...0)
3733, 36syl6eqel 2696 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → 𝑘 ∈ (0...0))
3832, 37syl6 34 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → (¬ 𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ (0...0)))
3926, 38mt3d 139 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → 𝑘 ∈ ℕ)
41400expd 12886 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (0↑𝑘) = 0)
4241oveq2d 6565 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴𝑘) · 0))
43 ffvelrn 6265 . . . . . 6 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4418, 29, 43syl2an 493 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4544mul01d 10114 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
4642, 45eqtrd 2644 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(deg‘𝐹)) ∖ (0...0))) → ((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = 0)
47 fzfid 12634 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
4810, 25, 46, 47fsumss 14303 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)))
4922, 21eqeltrd 2688 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ)
5016fsum1 14320 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ ((𝐴‘0) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
5134, 49, 50sylancr 694 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · 1))
5251, 22eqtrd 2644 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((𝐴𝑘) · (0↑𝑘)) = (𝐴‘0))
535, 48, 523eqtr2d 2650 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹‘0) = (𝐴‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  Polycply 23744  coeffccoe 23746  degcdgr 23747 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-0p 23243  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751 This theorem is referenced by:  coemulc  23815  dgreq0  23825  vieta1lem2  23870  aareccl  23885  ftalem5  24603  signsply0  29954  elaa2  39127
 Copyright terms: Public domain W3C validator