Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtnprm 24680
 Description: The Chebyshev function at a non-prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtnprm ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))

Proof of Theorem chtnprm
Dummy variables 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . 13 ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
2 simprr 792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
31, 2sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ℙ)
4 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
5 nelne2 2879 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
63, 4, 5syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
7 velsn 4141 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 1))
87necon3bbii 2829 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
96, 8sylibr 223 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)})
10 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(𝐴 + 1))
1110, 2sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)))
12 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
13 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
16 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
1714, 15, 16sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
18 elfzuz2 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2))
19 uz2m1nn 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
2011, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
2117, 20eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℕ)
22 nnuz 11599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
23 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
2423fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
2522, 24eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
2621, 25syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
27 fzsuc2 12268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
2812, 26, 27sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
2911, 28eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
30 elun 3715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
3129, 30sylib 207 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
3231ord 391 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (¬ 𝑥 ∈ (2...𝐴) → 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
339, 32mt3d 139 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...𝐴))
3433, 3elind 3760 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
3534expr 641 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)))
3635ssrdv 3574 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
37 uzid 11578 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
39 peano2uz 11617 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
40 fzss2 12252 . . . . . . 7 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → (2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)))
41 ssrin 3800 . . . . . . 7 ((2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
4238, 39, 40, 414syl 19 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
4336, 42eqssd 3585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
44 peano2z 11295 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
46 flid 12471 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = (𝐴 + 1))
4847oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘(𝐴 + 1))) = (2...(𝐴 + 1)))
4948ineq1d 3775 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
50 flid 12471 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (⌊‘𝐴) = 𝐴)
5251oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (2...(⌊‘𝐴)) = (2...𝐴))
5352ineq1d 3775 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
5443, 49, 533eqtr4d 2654 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
55 zre 11258 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
57 peano2re 10088 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
58 ppisval 24630 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
5956, 57, 583syl 18 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘(𝐴 + 1))) ∩ ℙ))
60 ppisval 24630 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6156, 60syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,]𝐴) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝐴)) ∩ ℙ))
6254, 59, 613eqtr4d 2654 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((0[,]𝐴) ∩ ℙ))
6362sumeq1d 14279 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
64 chtval 24636 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6556, 57, 643syl 18 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = Σ𝑝 ∈ ((0[,](𝐴 + 1)) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
66 chtval 24636 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6756, 66syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘𝐴) = Σ𝑝 ∈ ((0[,]𝐴) ∩ ℙ)(log‘𝑝))
6863, 65, 673eqtr4d 2654 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (θ‘(𝐴 + 1)) = (θ‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  Σcsu 14264  ℙcprime 15223  logclog 24105  θccht 24617 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-prm 15224  df-cht 24623 This theorem is referenced by:  chtub  24737
 Copyright terms: Public domain W3C validator