Theorem elfzle2 12216

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 12210	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 11576	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≤ cle 9954  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12223  fzdisj  12239  fznatpl1  12265  fzp1disj  12269  uzdisj  12282  fzneuz  12290  fznuz  12291  elfzmlbm  12318  difelfznle  12322  nn0disj  12324  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  bcval4  12956  bcp1nk  12966  hashf1  13098  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  isercolllem2  14244  isercoll  14246  summolem2a  14293  fsum0diaglem  14350  mertenslem1  14455  prodmolem2a  14503  binomrisefac  14612  bpoly4  14629  fzm1ndvds  14882  prmind2  15236  prmdvdsfz  15255  isprm7  15258  hashdvds  15318  prmdiveq  15329  prmreclem3  15460  prmreclem5  15462  4sqlem11  15497  4sqlem12  15498  vdwlem1  15523  vdwlem3  15525  vdwlem6  15528  vdwlem9  15531  vdwlem10  15532  strlemor1  15796  mndodconglem  17783  oddvds  17789  gexdvds  17822  coe1tmmul  19468  lebnumii  22573  ovolicc2lem4  23095  voliunlem1  23125  dvfsumle  23588  dvfsumge  23589  dvfsumabs  23590  dvfsumlem3  23595  elply2  23756  coeeq2  23802  aaliou3lem6  23907  birthdaylem2  24479  birthdaylem3  24480  wilthlem1  24594  ftalem5  24603  basellem1  24607  basellem3  24609  ppiprm  24677  chtprm  24679  logfac2  24742  lgsval2lem  24832  lgsqrlem2  24872  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  2lgslem1a  24916  chebbnd1lem1  24958  dchrvmasumiflem1  24990  mulog2sumlem2  25024  pntrlog2bndlem6  25072  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemh  25088  pntlemj  25092  pntlemf  25094  axlowdimlem16  25637  eupap1  26503  bcm1n  28941  psgnfzto1stlem  29181  smatrcl  29190  submateqlem1  29201  madjusmdetlem2  29222  ballotlemimin  29894  ballotlemsdom  29900  ballotlemsel1i  29901  ballotlemsima  29904  ballotlemfrceq  29917  ballotlemfrcn0  29918  erdszelem8  30434  cvmliftlem2  30522  cvmliftlem7  30527  supfz  30866  bcprod  30877  bccolsum  30878  poimirlem2  32581  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem8  32587  poimirlem12  32591  poimirlem13  32592  poimirlem14  32593  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem21  32600  poimirlem22  32601  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem26  32605  poimirlem28  32607  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  mblfinlem2  32617  irrapxlem3  36406  irrapxlem4  36407  fzmaxdif  36566  jm2.23  36581  jm2.26lem3  36586  jm2.27dlem2  36595  binomcxplemnn0  37570  monoords  38452  elfzolem1  38478  fmul01lt1lem1  38651  fmul01lt1lem2  38652  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem3  38896  stoweidlem17  38910  stoweidlem20  38913  stoweidlem26  38919  stoweidlem34  38927  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem15  39015  fourierdlem25  39025  fourierdlem41  39041  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem52  39051  fourierdlem54  39053  fourierdlem79  39078  fourierdlem102  39101  fourierdlem114  39113  elaa2lem  39126  etransclem23  39150  etransclem28  39155  etransclem35  39162  etransclem38  39165  iundjiun  39353  iccpartgt  39965  fmtno4prm  40025  2elfz2melfz  40355  elfzelfzlble  40358  crctcsh1wlkn0lem2  41014  crctcshlem4  41023  difmodm1lt  42111