Theorem fznatpl1 12265

Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fznatpl1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem fznatpl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 9934	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
2		elfzelz 12213	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3	2	zred 11358	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
5		peano2re 10088	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7		peano2re 10088	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 + 1) ∈ ℝ)
8	1, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ∈ ℝ)
9	1	ltp1d 10833	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (1 + 1))
10		elfzle1 12215	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 1 ≤ 𝐼)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 𝐼)
12		1re 9918	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		leadd1 10375	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
14	12, 12, 13	mp3an13 1407	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
16	11, 15	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1))
17	1, 8, 6, 9, 16	ltletrd 10076	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (𝐼 + 1))
18	1, 6, 17	ltled 10064	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ (𝐼 + 1))
19		elfzle2 12216	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
21		nnz 11276	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zred 11358	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		leaddsub 10383	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
25	12, 24	mp3an2 1404	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
26	4, 23, 25	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
27	20, 26	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)
28	2	peano2zd 11361	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
29	28	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
30		1z 11284	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
31		elfz 12203	. . . 4 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
32	30, 31	mp3an2 1404	. . 3 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
33	29, 22, 32	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
34	18, 27, 33	mpbir2and 959	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  axlowdimlem10  25631  axlowdimlem14  25635  1smat1  29198  madjusmdetlem2  29222