Theorem ltp1d 10833

Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltp1d	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Proof of Theorem ltp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 10740	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  zltp1le  11304  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem5OLD  11700  fznatpl1  12265  fzonn0p1  12411  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  bernneq3  12854  expmulnbnd  12858  discr1  12862  discr  12863  bcp1nk  12966  bcpasc  12970  hashfzp1  13078  hashfun  13084  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  o1rlimmul  14197  fsum1p  14326  climcndslem2  14421  mertenslem1  14455  fprodntriv  14511  fprod1p  14537  fprodeq0  14544  binomfallfaclem2  14610  fallfacval4  14613  sqrt2irr  14817  nno  14936  iserodd  15378  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  4sqlem11  15497  vdwlem6  15528  vdwlem11  15533  vdwlem12  15534  sylow1lem1  17836  efgsfo  17975  efgred  17984  telgsums  18213  srgbinomlem3  18365  icopnfcnv  22549  cnheibor  22562  pjthlem1  23016  ovolicopnf  23099  uniioombllem3  23159  dvfsumrlim  23598  plyco0  23752  vieta1lem2  23870  mtest  23962  itgulm  23966  psercnlem1  23983  psercn  23984  abelthlem2  23990  abelthlem7  23996  logcnlem4  24191  atanlogsublem  24442  birthdaylem2  24479  efrlim  24496  fsumharmonic  24538  ftalem5  24603  basellem1  24607  basellem3  24609  ppiprm  24677  chtprm  24679  chtdif  24684  ppidif  24689  chtub  24737  perfectlem2  24755  gausslemma2dlem4  24894  gausslemma2dlem6  24897  lgsquadlem2  24906  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem3  25008  pntrlog2bndlem6  25072  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemc  25084  pntlemf  25094  ostth2lem1  25107  ostth2lem3  25124  axlowdimlem16  25637  wwlknredwwlkn  26254  wwlkext2clwwlk  26331  eupap1  26503  eupath2lem3  26506  smcnlem  26936  pjhthlem1  27634  pmtrto1cl  29180  psgnfzto1stlem  29181  esumpmono  29468  oddpwdc  29743  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  subfaclim  30424  erdsze2lem2  30440  cvmliftlem7  30527  cvmliftlem10  30530  relowlssretop  32387  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem8  32587  poimirlem9  32588  poimirlem10  32589  poimirlem11  32590  poimirlem12  32591  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem22  32601  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem25  32604  poimirlem28  32607  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  mblfinlem2  32617  itg2addnclem2  32632  isbnd3  32753  eldioph2lem1  36341  pell14qrgapw  36458  rmygeid  36549  monoords  38452  infxr  38524  ioodvbdlimc1lem1  38821  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnxpaek  38832  dvnmul  38833  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  wallispilem5  38962  stirlinglem1  38967  stirlinglem3  38969  stirlinglem5  38971  stirlinglem6  38972  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem20  39020  fourierdlem30  39030  fourierdlem50  39049  fourierdlem54  39053  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem76  39075  fourierdlem77  39076  fourierdlem79  39078  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  etransclem46  39173  ioorrnopnxrlem  39202  caratheodorylem1  39416  vonioolem2  39572  vonicclem2  39575  perfectALTVlem2  40165  crctcsh1wlkn0lem3  41015  wwlksnredwwlkn  41101  wwlksext2clwwlk  41231  aacllem  42356