Theorem fzpr 12266

Description: A finite interval of integers with two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fzpr	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})

Proof of Theorem fzpr

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 11578	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		elfzp1 12261	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)) ↔ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑀) ∨ 𝑚 = (𝑀 + 1))))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)) ↔ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑀) ∨ 𝑚 = (𝑀 + 1))))
4		fzsn 12254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
5	4	eleq2d 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑚 ∈ {𝑀}))
6		velsn 4141	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} ↔ 𝑚 = 𝑀)
7	5, 6	syl6bb 275	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (𝑀...𝑀) ↔ 𝑚 = 𝑀))
8	7	orbi1d 735	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ (𝑀...𝑀) ∨ 𝑚 = (𝑀 + 1)) ↔ (𝑚 = 𝑀 ∨ 𝑚 = (𝑀 + 1))))
9	3, 8	bitrd 267	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)) ↔ (𝑚 = 𝑀 ∨ 𝑚 = (𝑀 + 1))))
10		vex 3176	. . . 4 ⊢ 𝑚 ∈ V
11	10	elpr 4146	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀, (𝑀 + 1)} ↔ (𝑚 = 𝑀 ∨ 𝑚 = (𝑀 + 1)))
12	9, 11	syl6bbr 277	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑀 + 1)) ↔ 𝑚 ∈ {𝑀, (𝑀 + 1)}))
13	12	eqrdv 2608	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  fztp  12267  fzprval  12271  fz0to3un2pr  12310  fz0to4untppr  12311  fzo13pr  12419  fzo0to2pr  12420  fzo0to42pr  12422  bpoly2  14627  bpoly3  14628  prmreclem2  15459  gsumprval  17104  m2detleiblem2  20253  iblcnlem1  23360  axlowdimlem4  25625  wlkntrllem2  26090  constr1trl  26118  constr3trllem3  26180  constr3pthlem1  26183  constr3pthlem3  26185  poimirlem1  32580  poimirlem8  32587  31prm  40050  nnsum3primes4  40204  nnsum3primesgbe  40208  uhgr1wlkspthlem2  40960