Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primes4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primes4 40204
Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primes4 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
Distinct variable group:   𝑓,𝑑,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primes4
StepHypRef Expression
1 2nn 11062 . 2 2 ∈ ℕ
2 1ne2 11117 . . . . 5 1 ≠ 2
3 1ex 9914 . . . . . 6 1 ∈ V
4 2ex 10969 . . . . . 6 2 ∈ V
53, 4, 4, 4fpr 6326 . . . . 5 (1 ≠ 2 → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2})
6 2prm 15243 . . . . . . . 8 2 ∈ ℙ
76, 6pm3.2i 470 . . . . . . 7 (2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ)
84, 4prss 4291 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) ↔ {2, 2} ⊆ ℙ)
97, 8mpbi 219 . . . . . 6 {2, 2} ⊆ ℙ
10 fss 5969 . . . . . 6 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} ∧ {2, 2} ⊆ ℙ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
119, 10mpan2 703 . . . . 5 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶{2, 2} → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
122, 5, 11mp2b 10 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ
13 prmex 15229 . . . . 5 ℙ ∈ V
14 prex 4836 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
1513, 14elmap 7772 . . . 4 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
1612, 15mpbir 220 . . 3 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})
17 2re 10967 . . . . 5 2 ∈ ℝ
18 3re 10971 . . . . 5 3 ∈ ℝ
19 2lt3 11072 . . . . 5 2 < 3
2017, 18, 19ltleii 10039 . . . 4 2 ≤ 3
21 2cn 10968 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
22 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1))
233, 4fvpr1 6361 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2)
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘1) = 2
2522, 24syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
26 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2))
274, 4fvpr2 6362 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2)
282, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘2) = 2
2926, 28syl6eq 2660 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = 2)
30 id 22 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3130ancri 573 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
323jctl 562 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℂ))
332a1i 11 . . . . . . 7 (2 ∈ ℂ → 1 ≠ 2)
3425, 29, 31, 32, 33sumpr 14321 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2))
3521, 34ax-mp 5 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘) = (2 + 2)
36 2p2e4 11021 . . . . 5 (2 + 2) = 4
3735, 36eqtr2i 2633 . . . 4 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)
3820, 37pm3.2i 470 . . 3 (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
39 fveq1 6102 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
4039sumeq2sdv 14282 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))
4140eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → (4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘)))
4241anbi2d 736 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))))
4342rspcev 3282 . . 3 (({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2}) ∧ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 2⟩, ⟨2, 2⟩}‘𝑘))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
4416, 38, 43mp2an 704 . 2 𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))
45 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
46 df-2 10956 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4746oveq2i 6560 . . . . . . 7 (1...2) = (1...(1 + 1))
48 1z 11284 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
49 fzpr 12266 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
51 1p1e2 11011 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
5251preq2i 4216 . . . . . . . 8 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
5350, 52eqtri 2632 . . . . . . 7 (1...(1 + 1)) = {1, 2}
5447, 53eqtri 2632 . . . . . 6 (1...2) = {1, 2}
5545, 54syl6eq 2660 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
5655oveq2d 6565 . . . 4 (𝑑 = 2 → (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑)) = (ℙ ↑𝑚 {1, 2}))
57 breq1 4586 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
5855sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))
5958eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑑 = 2 → (4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
6057, 59anbi12d 743 . . . 4 (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
6156, 60rexeqbidv 3130 . . 3 (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
6261rspcev 3282 . 2 ((2 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
631, 44, 62mp2an 704 1 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  Vcvv 3173  wss 3540  {cpr 4127  cop 4131   class class class wbr 4583  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  cle 9954  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  cz 11254  ...cfz 12197  Σcsu 14264  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  40205  nnsum3primesle9  40210
  Copyright terms: Public domain W3C validator