Theorem constr1trl 26118

Description: Construction of a trail from one given edge in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
1trl.f	⊢ 𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩}
1trl.p	⊢ 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}

Assertion

Ref	Expression
constr1trl	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)

Proof of Theorem constr1trl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1trl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩}
2		c0ex 9913	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
3		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑖 ∈ V
4	2, 3	f1osn 6088	. . . . . 6 ⊢ {⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑖}
5		f1of1 6049	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑖} → {⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖})
6		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (#‘𝐹) = (#‘{⟨0, 𝑖⟩}))
7		opex 4859	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⟨0, 𝑖⟩ ∈ V
8		hashsng 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨0, 𝑖⟩ ∈ V → (#‘{⟨0, 𝑖⟩}) = 1)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (#‘{⟨0, 𝑖⟩}) = 1
10	6, 9	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (#‘𝐹) = 1)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (#‘𝐹) = 1
12	11	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^(#‘𝐹)) = (0..^1)
13		fzo01 12417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0..^1) = {0}
14	12, 13	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^(#‘𝐹)) = {0}
15	14	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} = (0..^(#‘𝐹))
16		f1eq2 6010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0} = (0..^(#‘𝐹)) → ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ↔ {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ↔ {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖})
18	17	biimpi 205	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖})
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖})
20		prid1g 4239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
22	21	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
24		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
25	24	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
27	23, 26	mpbird 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → 𝐴 ∈ (𝐸‘𝑖))
28		elfvdm 6130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐸‘𝑖) → 𝑖 ∈ dom 𝐸)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → 𝑖 ∈ dom 𝐸)
30	29	snssd 4281	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → {𝑖} ⊆ dom 𝐸)
31		f1ss 6019	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖} ∧ {𝑖} ⊆ dom 𝐸) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
32	19, 30, 31	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
33	32	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} → (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
34	4, 5, 33	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
35	34	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
36		f1eq1 6009	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
38	35, 37	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} ∧ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
39	1, 38	mpan 702	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
40		1trl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}
41		0z 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
42		1z 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
43	41, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
44		0ne1 10965	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
45		fprg 6327	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
46		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
47	46	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (0 + 1)
48	47	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
49		fzpr 12266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
50	41, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
51	46	preq2i 4216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
52	48, 50, 51	3eqtri 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0...1) = {0, 1}
53	52	feq2i 5950	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
54	45, 53	sylibr 223	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵})
55	43, 44, 54	mp3an13 1407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵})
56		prssi 4293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑉)
57	55, 56	fssd 5970	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉)
58	57	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉)
59		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
60	11	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(#‘𝐹)) = (0...1)
61	60	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (0...(#‘𝐹)) = (0...1))
62	59, 61	feq12d 5946	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉))
63	62	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉))
64	58, 63	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
65	40, 64	mpan 702	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
66	65	3ad2ant2 1076	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
67		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵} → (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})
68	67	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵})
69		fveq1 6102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (𝐹‘0) = ({⟨0, 𝑖⟩}‘0))
70	2, 3	fvsn 6351	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨0, 𝑖⟩}‘0) = 𝑖
71	69, 70	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (𝐹‘0) = 𝑖)
72	1, 71	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘0) = 𝑖
73	72	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘0) = 𝑖)
74	73	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐸‘(𝐹‘0)) = (𝐸‘𝑖))
75		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
76		fvpr1g 6363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
77	2, 44, 76	mp3an13 1407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
78	75, 77	sylan9eq 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
79	40, 78	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
80	79	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
81	80	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝑃‘0) = 𝐴)
82		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑃‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
83		1ex 9914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
84		fvpr2g 6364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
85	83, 44, 84	mp3an13 1407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
86	82, 85	sylan9eq 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑃‘1) = 𝐵)
87	40, 86	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
88	87	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝑃‘1) = 𝐵)
89	88	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝑃‘1) = 𝐵)
90	81, 89	preq12d 4220	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
91	68, 74, 90	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
92		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
93	92	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
94		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
95		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
96	95, 46	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
97	96	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
98	94, 97	preq12d 4220	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
99	93, 98	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
100	2, 99	ralsn 4169	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
101	91, 100	sylibr 223	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ∀𝑘 ∈ {0} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
102	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (0..^(#‘𝐹)) = {0})
103	102	raleqdv 3121	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
104	101, 103	mpbird 246	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
105		snex 4835	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 𝑖⟩} ∈ V
106	1, 105	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
107		prex 4836	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V
108	40, 107	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
109		istrl2 26068	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
110	106, 108, 109	mpanr12 717	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
111	110	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
112	39, 66, 104, 111	mpbir3and 1238	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐸‘𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979   Trails ctrail 26027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037

This theorem is referenced by:  1pthon  26121