Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr1trl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr1trl 26118
 Description: Construction of a trail from one given edge in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1trl.f 𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩}
1trl.p 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}
Assertion
Ref Expression
constr1trl (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)

Proof of Theorem constr1trl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1trl.f . . 3 𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩}
2 c0ex 9913 . . . . . . 7 0 ∈ V
3 vex 3176 . . . . . . 7 𝑖 ∈ V
42, 3f1osn 6088 . . . . . 6 {⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑖}
5 f1of1 6049 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑖} → {⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖})
6 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (#‘𝐹) = (#‘{⟨0, 𝑖⟩}))
7 opex 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⟨0, 𝑖⟩ ∈ V
8 hashsng 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨0, 𝑖⟩ ∈ V → (#‘{⟨0, 𝑖⟩}) = 1)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (#‘{⟨0, 𝑖⟩}) = 1
106, 9syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (#‘𝐹) = 1)
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘𝐹) = 1
1211oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^(#‘𝐹)) = (0..^1)
13 fzo01 12417 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^1) = {0}
1412, 13eqtri 2632 . . . . . . . . . . . 12 (0..^(#‘𝐹)) = {0}
1514eqcomi 2619 . . . . . . . . . . 11 {0} = (0..^(#‘𝐹))
16 f1eq2 6010 . . . . . . . . . . 11 ({0} = (0..^(#‘𝐹)) → ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ↔ {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖}))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ↔ {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖})
1817biimpi 205 . . . . . . . . 9 ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖})
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖})
20 prid1g 4239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
22213ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
24 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} → (𝐴 ∈ (𝐸𝑖) ↔ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
25243ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐴 ∈ (𝐸𝑖) ↔ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → (𝐴 ∈ (𝐸𝑖) ↔ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}))
2723, 26mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → 𝐴 ∈ (𝐸𝑖))
28 elfvdm 6130 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝐸𝑖) → 𝑖 ∈ dom 𝐸)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → 𝑖 ∈ dom 𝐸)
3029snssd 4281 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → {𝑖} ⊆ dom 𝐸)
31 f1ss 6019 . . . . . . . 8 (({⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→{𝑖} ∧ {𝑖} ⊆ dom 𝐸) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
3219, 30, 31syl2anc 691 . . . . . . 7 (({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
3332ex 449 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑖⟩}:{0}–1-1→{𝑖} → (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
344, 5, 33mp2b 10 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
3534adantl 481 . . . 4 ((𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
36 f1eq1 6009 . . . . 5 (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
3736adantr 480 . . . 4 ((𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑖⟩}:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸))
3835, 37mpbird 246 . . 3 ((𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} ∧ ((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
391, 38mpan 702 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸)
40 1trl.p . . . 4 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}
41 0z 11265 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
42 1z 11284 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
4341, 42pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)
44 0ne1 10965 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
45 fprg 6327 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
46 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
4746eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
4847oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 (0...1) = (0...(0 + 1))
49 fzpr 12266 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
5146preq2i 4216 . . . . . . . . . . 11 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
5248, 50, 513eqtri 2636 . . . . . . . . . 10 (0...1) = {0, 1}
5352feq2i 5950 . . . . . . . . 9 ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵} ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:{0, 1}⟶{𝐴, 𝐵})
5445, 53sylibr 223 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵})
5543, 44, 54mp3an13 1407 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶{𝐴, 𝐵})
56 prssi 4293 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑉)
5755, 56fssd 5970 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉)
5857adantl 481 . . . . 5 ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉)
59 id 22 . . . . . . 7 (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → 𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
6011oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (0...(#‘𝐹)) = (0...1)
6160a1i 11 . . . . . . 7 (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (0...(#‘𝐹)) = (0...1))
6259, 61feq12d 5946 . . . . . 6 (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉))
6362adantr 480 . . . . 5 ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}:(0...1)⟶𝑉))
6458, 63mpbird 246 . . . 4 ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
6540, 64mpan 702 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
66653ad2ant2 1076 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
67 id 22 . . . . . 6 ((𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵} → (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})
68673ad2ant3 1077 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵})
69 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (𝐹‘0) = ({⟨0, 𝑖⟩}‘0))
702, 3fvsn 6351 . . . . . . . . 9 ({⟨0, 𝑖⟩}‘0) = 𝑖
7169, 70syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝐹 = {⟨0, 𝑖⟩} → (𝐹‘0) = 𝑖)
721, 71ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹‘0) = 𝑖
7372a1i 11 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐹‘0) = 𝑖)
7473fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐸‘(𝐹‘0)) = (𝐸𝑖))
75 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0))
76 fvpr1g 6363 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ V ∧ 𝐴𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
772, 44, 76mp3an13 1407 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘0) = 𝐴)
7875, 77sylan9eq 2664 . . . . . . . . 9 ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ 𝐴𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
7940, 78mpan 702 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
8079adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
81803ad2ant2 1076 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝑃‘0) = 𝐴)
82 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} → (𝑃‘1) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1))
83 1ex 9914 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
84 fvpr2g 6364 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ V ∧ 𝐵𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
8583, 44, 84mp3an13 1407 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑉 → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
8682, 85sylan9eq 2664 . . . . . . . . 9 ((𝑃 = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∧ 𝐵𝑉) → (𝑃‘1) = 𝐵)
8740, 86mpan 702 . . . . . . . 8 (𝐵𝑉 → (𝑃‘1) = 𝐵)
8887adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝑃‘1) = 𝐵)
89883ad2ant2 1076 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝑃‘1) = 𝐵)
9081, 89preq12d 4220 . . . . 5 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
9168, 74, 903eqtr4d 2654 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
92 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
9392fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
94 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
95 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
9695, 46syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
9796fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
9894, 97preq12d 4220 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
9993, 98eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
1002, 99ralsn 4169 . . . 4 (∀𝑘 ∈ {0} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
10191, 100sylibr 223 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ∀𝑘 ∈ {0} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
10214a1i 11 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (0..^(#‘𝐹)) = {0})
103102raleqdv 3121 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
104101, 103mpbird 246 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
105 snex 4835 . . . . 5 {⟨0, 𝑖⟩} ∈ V
1061, 105eqeltri 2684 . . . 4 𝐹 ∈ V
107 prex 4836 . . . . 5 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∈ V
10840, 107eqeltri 2684 . . . 4 𝑃 ∈ V
109 istrl2 26068 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
110106, 108, 109mpanr12 717 . . 3 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
1111103ad2ant1 1075 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1→dom 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
11239, 66, 104, 111mpbir3and 1238 1 (((𝑉𝑋𝐸𝑌) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐸𝑖) = {𝐴, 𝐵}) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979   Trails ctrail 26027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037 This theorem is referenced by:  1pthon  26121
 Copyright terms: Public domain W3C validator