MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly2 14627
Description: The Bernoulli polynomials at two. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly2 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))

Proof of Theorem bpoly2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11186 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 bpolyval 14619 . . 3 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 702 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))))
4 2m1e1 11012 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
5 0p1e1 11009 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
64, 5eqtr4i 2635 . . . . . 6 (2 − 1) = (0 + 1)
76oveq2i 6560 . . . . 5 (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
87sumeq1i 14276 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))
9 0nn0 11184 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
10 nn0uz 11598 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
119, 10eleqtri 2686 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
13 0z 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
14 fzpr 12266 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
1615eleq2i 2680 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, (0 + 1)})
17 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ V
1817elpr 4146 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {0, (0 + 1)} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1)))
1916, 18bitri 263 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1)))
20 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (2C𝑘) = (2C0))
21 bcn0 12959 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℕ0 → (2C0) = 1)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2C0) = 1
2320, 22syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (2C𝑘) = 1)
24 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
25 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (2 − 𝑘) = (2 − 0))
2625oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → ((2 − 𝑘) + 1) = ((2 − 0) + 1))
27 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
2827subid1i 10232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 0) = 2
2928oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 − 0) + 1) = (2 + 1)
30 df-3 10957 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
3129, 30eqtr4i 2635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 − 0) + 1) = 3
3226, 31syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((2 − 𝑘) + 1) = 3)
3324, 32oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 3))
3423, 33oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
35 bpoly0 14620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
3635oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 3) = (1 / 3))
3736oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) = (1 · (1 / 3)))
38 3cn 10972 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
39 3ne0 10992 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
4038, 39reccli 10634 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 3) ∈ ℂ
4140mulid2i 9922 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (1 / 3)) = (1 / 3)
4237, 41syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) = (1 / 3))
4334, 42sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 / 3))
4443, 40syl6eqel 2696 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
455eqeq2i 2622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
46 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (2C𝑘) = (2C1))
47 bcn1 12962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℕ0 → (2C1) = 2)
481, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (2C1) = 2
4946, 48syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → (2C𝑘) = 2)
50 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
51 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → (2 − 𝑘) = (2 − 1))
5251oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((2 − 𝑘) + 1) = ((2 − 1) + 1))
53 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
54 npcan 10169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 − 1) + 1) = 2)
5527, 53, 54mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 − 1) + 1) = 2
5652, 55syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ((2 − 𝑘) + 1) = 2)
5750, 56oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 2))
5849, 57oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)))
5945, 58sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0 + 1) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)))
60 bpoly1 14621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
6160oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 BernPoly 𝑋) / 2) = ((𝑋 − (1 / 2)) / 2))
6261oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)) = (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)))
63 halfcn 11124 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℂ
64 subcl 10159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
6563, 64mpan2 703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
66 2ne0 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
67 divcan2 10572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
6827, 66, 67mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
6965, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7062, 69eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7159, 70sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 2)))
7265adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7371, 72eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = (0 + 1)) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7444, 73jaodan 822 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = (0 + 1))) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7519, 74sylan2b 491 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
7612, 75, 59fsump1 14329 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) + (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2))))
7742, 40syl6eqel 2696 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) ∈ ℂ)
7834fsum1 14320 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
7913, 77, 78sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 3)))
8079, 42eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (1 / 3))
8180, 70oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) + (2 · ((1 BernPoly 𝑋) / 2))) = ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))))
8276, 81eqtrd 2644 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))))
83 addsub12 10173 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))))
8440, 63, 83mp3an13 1407 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))))
8563, 40negsubdi2i 10246 . . . . . . . 8 -((1 / 2) − (1 / 3)) = ((1 / 3) − (1 / 2))
86 halfthird 11561 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − (1 / 3)) = (1 / 6)
8786negeqi 10153 . . . . . . . 8 -((1 / 2) − (1 / 3)) = -(1 / 6)
8885, 87eqtr3i 2634 . . . . . . 7 ((1 / 3) − (1 / 2)) = -(1 / 6)
8988oveq2i 6560 . . . . . 6 (𝑋 + ((1 / 3) − (1 / 2))) = (𝑋 + -(1 / 6))
9084, 89syl6eq 2660 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 3) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + -(1 / 6)))
91 6cn 10979 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
92 6re 10978 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
93 6pos 10996 . . . . . . . 8 0 < 6
9492, 93gt0ne0ii 10443 . . . . . . 7 6 ≠ 0
9591, 94reccli 10634 . . . . . 6 (1 / 6) ∈ ℂ
96 negsub 10208 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → (𝑋 + -(1 / 6)) = (𝑋 − (1 / 6)))
9795, 96mpan2 703 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + -(1 / 6)) = (𝑋 − (1 / 6)))
9882, 90, 973eqtrd 2648 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 6)))
998, 98syl5eq 2656 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 6)))
10099oveq2d 6565 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − Σ𝑘 ∈ (0...(2 − 1))((2C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((2 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))))
101 sqcl 12787 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
102 subsub 10190 . . . 4 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
10395, 102mp3an3 1405 . . 3 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
104101, 103mpancom 700 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
1053, 100, 1043eqtrd 2648 1 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  {cpr 4127  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  6c6 10951  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  cexp 12722  Ccbc 12951  Σcsu 14264   BernPoly cbp 14616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-bpoly 14617
This theorem is referenced by:  bpoly3  14628  bpoly4  14629
  Copyright terms: Public domain W3C validator