Theorem sumeq1i 14276

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 14267	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1475  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-iota 5768  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seq 12664  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  sumeq12i  14278  fsump1i  14342  fsum2d  14344  fsumxp  14345  isumnn0nn  14413  arisum  14431  arisum2  14432  geo2sum  14443  bpoly0  14620  bpoly1  14621  bpoly2  14627  bpoly3  14628  bpoly4  14629  efsep  14679  ef4p  14682  rpnnen2lem12  14793  ovolicc2lem4  23095  itg10  23261  dveflem  23546  dvply1  23843  vieta1lem2  23870  aaliou3lem4  23905  dvtaylp  23928  pserdvlem2  23986  advlogexp  24201  log2ublem2  24474  log2ublem3  24475  log2ub  24476  ftalem5  24603  cht1  24691  1sgmprm  24724  lgsquadlem2  24906  axlowdimlem16  25637  rusgranumwlks  26483  signsvf0  29983  signsvf1  29984  k0004val0  37472  binomcxplemnotnn0  37577  fsumiunss  38642  dvnmul  38833  stoweidlem17  38910  dirkertrigeqlem1  38991  etransclem24  39151  etransclem35  39162  rusgrnumwwlks  41177