MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1i Structured version   Unicode version

Theorem sumeq1i 13731
Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq1i.1  |-  A  =  B
Assertion
Ref Expression
sumeq1i  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumeq1i
StepHypRef Expression
1 sumeq1i.1 . 2  |-  A  =  B
2 sumeq1 13722 . 2  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
31, 2ax-mp 5 1  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437   sum_csu 13719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-xp 4851  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-iota 5556  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-seq 12200  df-sum 13720
This theorem is referenced by:  sumeq12i  13733  fsump1i  13797  fsum2d  13799  fsumxp  13800  isumnn0nn  13867  arisum  13885  arisum2  13886  geo2sum  13896  bpoly0  14070  bpoly1  14071  bpoly2  14077  bpoly3  14078  bpoly4  14079  efsep  14131  ef4p  14134  rpnnen2  14245  ovolicc2lem4OLD  22380  ovolicc2lem4  22381  itg10  22553  dveflem  22838  dvply1  23144  vieta1lem2  23171  aaliou3lem4  23206  dvtaylp  23229  pserdvlem2  23287  advlogexp  23504  log2ublem2  23777  log2ublem3  23778  log2ub  23779  ftalem5  23905  cht1  23994  1sgmprm  24029  lgsquadlem2  24185  axlowdimlem16  24874  rusgranumwlks  25570  signsvf0  29298  signsvf1  29299  binomcxplemnotnn0  36390  fsumiunss  37277  dvnmul  37435  stoweidlem17  37494  dirkertrigeqlem1  37577  etransclem24  37738  etransclem35  37749
  Copyright terms: Public domain W3C validator