MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1i Structured version   Unicode version

Theorem sumeq1i 13296
Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq1i.1  |-  A  =  B
Assertion
Ref Expression
sumeq1i  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumeq1i
StepHypRef Expression
1 sumeq1i.1 . 2  |-  A  =  B
2 sumeq1 13287 . 2  |-  ( A  =  B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
31, 2ax-mp 5 1  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370   sum_csu 13284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-cnv 4959  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-seq 11927  df-sum 13285
This theorem is referenced by:  sumeq12i  13298  fsump1i  13357  fsum2d  13359  fsumxp  13360  isumnn0nn  13426  arisum  13443  arisum2  13444  geo2sum  13454  efsep  13515  ef4p  13518  rpnnen2  13629  ovolicc2lem4  21138  itg10  21302  dveflem  21587  dvply1  21886  vieta1lem2  21913  aaliou3lem4  21948  dvtaylp  21971  pserdvlem2  22029  advlogexp  22236  log2ublem2  22478  log2ublem3  22479  log2ub  22480  ftalem5  22550  cht1  22639  1sgmprm  22674  lgsquadlem2  22830  axlowdimlem16  23375  signsvf0  27145  signsvf1  27146  bpoly0  28357  bpoly1  28358  bpoly2  28364  bpoly3  28365  bpoly4  28366  stoweidlem17  29980  rusgranumwlks  30742
  Copyright terms: Public domain W3C validator