Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arisum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem arisum 14431
 Description: Arithmetic series sum of the first 𝑁 positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
arisum (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem arisum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11171 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 1zzd 11285 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
3 nnz 11276 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
54zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
65adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
7 id 22 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
82, 2, 3, 6, 7fsumshftm 14355 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
9 1m1e0 10966 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
109oveq1i 6559 . . . . . 6 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
1110sumeq1i 14276 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1)
128, 11syl6eq 2660 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1))
13 elfznn0 12302 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
15 bcnp1n 12963 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = (𝑗 + 1))
1714nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 9873 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
19 addcom 10101 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
2017, 18, 19sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = (1 + 𝑗))
2120oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1)C𝑗) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
2216, 21eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) = ((1 + 𝑗)C𝑗))
2322sumeq2dv 14281 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
24 1nn0 11185 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
25 nnm1nn0 11211 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
26 bcxmas 14406 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
2724, 25, 26sylancr 694 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((1 + 𝑗)C𝑗))
2823, 27eqtr4d 2647 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝑗 + 1) = (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)))
29 1cnd 9935 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
30 nncn 10905 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3129, 29, 30ppncand 10311 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (1 + 𝑁))
32 addcom 10101 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
3318, 30, 32sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
3431, 33eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1) + (𝑁 − 1)) = (𝑁 + 1))
3534oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)))
36 nnnn0 11176 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37 bcp1m1 12969 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
3836, 37syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1)C(𝑁 − 1)) = (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2))
3930, 29, 30adddird 9944 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)))
40 sqval 12784 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
4140eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · 𝑁) = (𝑁↑2))
42 mulid2 9917 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
4341, 42oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4430, 43syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 · 𝑁) + (1 · 𝑁)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4539, 44eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) · 𝑁) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
4645oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) · 𝑁) / 2) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
4735, 38, 463eqtrd 2648 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((1 + 1) + (𝑁 − 1))C(𝑁 − 1)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
4812, 28, 473eqtrd 2648 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
49 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = (1...0))
50 fz10 12233 . . . . . . 7 (1...0) = ∅
5149, 50syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (1...𝑁) = ∅)
5251sumeq1d 14279 . . . . 5 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
53 sum0 14299 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 0
5452, 53syl6eq 2660 . . . 4 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = 0)
55 sq0i 12818 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
56 id 22 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
5755, 56oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (0 + 0))
58 00id 10090 . . . . . . 7 (0 + 0) = 0
5957, 58syl6eq 2660 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) = 0)
6059oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = (0 / 2))
61 2cn 10968 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
62 2ne0 10990 . . . . . 6 2 ≠ 0
6361, 62div0i 10638 . . . . 5 (0 / 2) = 0
6460, 63syl6eq 2660 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = 0)
6554, 64eqtr4d 2647 . . 3 (𝑁 = 0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6648, 65jaoi 393 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
671, 66sylbi 206 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Ccbc 12951  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  arisum2  14432
 Copyright terms: Public domain W3C validator