Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efsep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efsep 14679
 Description: Separate out the next term of the power series expansion of the exponential function. The last hypothesis allows the separated terms to be rearranged as desired. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efsep.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
efsep.2 𝑁 = (𝑀 + 1)
efsep.3 𝑀 ∈ ℕ0
efsep.4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efsep.5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
efsep.6 (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)))
efsep.7 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
efsep (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐷(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efsep
StepHypRef Expression
1 efsep.6 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)))
2 eqid 2610 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
3 efsep.3 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
43nn0zi 11279 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 eqidd 2611 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
7 eluznn0 11633 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
83, 7mpan 702 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 efsep.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
109eftval 14646 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
12 efsep.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 eftcl 14643 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1412, 13sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
1511, 14eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
168, 15sylan2 490 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
179eftlcvg 14675 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1812, 3, 17sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
192, 5, 6, 16, 18isum1p 14412 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))(𝐹𝑘)))
209eftval 14646 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑀) = ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)))
213, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹𝑀) = ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))
22 efsep.2 . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑀 + 1)
2322eqcomi 2619 . . . . . . . 8 (𝑀 + 1) = 𝑁
2423fveq2i 6106 . . . . . . 7 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ𝑁)
2524sumeq1i 14276 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)
2621, 25oveq12i 6561 . . . . 5 ((𝐹𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))(𝐹𝑘)) = (((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘))
2719, 26syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = (((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
2827oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘))))
29 efsep.5 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
30 eftcl 14643 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
3112, 3, 30sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
32 peano2nn0 11210 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
333, 32ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
3422, 33eqeltri 2684 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
359eftlcl 14676 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3612, 34, 35sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3729, 31, 36addassd 9941 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)) = (𝐵 + (((𝐴𝑀) / (!‘𝑀)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘))))
3828, 37eqtr4d 2647 . 2 (𝜑 → (𝐵 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) = ((𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
39 efsep.7 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) = 𝐷)
4039oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((𝐵 + ((𝐴𝑀) / (!‘𝑀))) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
411, 38, 403eqtrd 2648 1 (𝜑 → (exp‘𝐴) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑁)(𝐹𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   / cdiv 10563  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  seqcseq 12663  ↑cexp 12722  !cfa 12922   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  expce 14631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  ef4p  14682  dveflem  23546
 Copyright terms: Public domain W3C validator