MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsump1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsump1i 14342
Description: Optimized version of fsump1 14329 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsump1i.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsump1i.2 𝑁 = (𝐾 + 1)
fsump1i.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
fsump1i.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1i.5 (𝜑 → (𝐾𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
fsump1i.6 (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
Assertion
Ref Expression
fsump1i (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsump1i
StepHypRef Expression
1 fsump1i.2 . . 3 𝑁 = (𝐾 + 1)
2 fsump1i.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆))
32simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐾𝑍)
4 fsump1i.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleq 2698 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
6 peano2uz 11617 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
76, 4syl6eleqr 2699 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
91, 8syl5eqel 2692 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
101oveq2i 6560 . . . . 5 (𝑀...𝑁) = (𝑀...(𝐾 + 1))
1110sumeq1i 14276 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴
12 elfzuz 12209 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1312, 4syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1)) → 𝑘𝑍)
14 fsump1i.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
1513, 14sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
161eqeq2i 2622 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝑘 = (𝐾 + 1))
17 fsump1i.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
1816, 17sylbir 224 . . . . 5 (𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
195, 15, 18fsump1 14329 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
2011, 19syl5eq 2656 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵))
212simprd 478 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 = 𝑆)
2221oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝐾)𝐴 + 𝐵) = (𝑆 + 𝐵))
23 fsump1i.6 . . 3 (𝜑 → (𝑆 + 𝐵) = 𝑇)
2420, 22, 233eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇)
259, 24jca 553 1 (𝜑 → (𝑁𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  cuz 11563  ...cfz 12197  Σcsu 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265
This theorem is referenced by:  cphipval  22850  itgcnlem  23362  vieta1  23871  ipval2  26946  subfacval2  30423
  Copyright terms: Public domain W3C validator