Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum2d 14344
 Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
fsum2d.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum2d (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝐷,𝑗,𝑘   𝑧,𝐶   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3587 . 2 𝐴𝐴
2 fsum2d.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 sumeq1 14267 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)
5 iuneq1 4470 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
65sumeq1d 14279 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
74, 6eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
83, 7imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
98imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
10 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝐴𝑥𝐴))
11 sumeq1 14267 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶)
12 iuneq1 4470 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵))
1312sumeq1d 14279 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
1411, 13eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
1510, 14imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
1615imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
17 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴))
18 sumeq1 14267 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶)
19 iuneq1 4470 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵))
2019sumeq1d 14279 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2118, 20eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2217, 21imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
2322imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
24 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤𝐴𝐴𝐴))
25 sumeq1 14267 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
26 iuneq1 4470 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
2726sumeq1d 14279 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2825, 27eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2924, 28imbi12d 333 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
3029imbi2d 329 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
31 sum0 14299 . . . . . 6 Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷 = 0
32 0iun 4513 . . . . . . 7 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
3332sumeq1i 14276 . . . . . 6 Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷
34 sum0 14299 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = 0
3531, 33, 343eqtr4ri 2643 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷
36352a1i 12 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
37 ssun1 3738 . . . . . . . . . 10 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦})
38 sstr 3576 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝑥𝐴)
3937, 38mpan 702 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴𝑥𝐴)
4039imim1i 61 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
42 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝜑)
4342, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4542, 44sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4742, 46sylan 487 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑦𝑥)
49 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴)
50 biid 250 . . . . . . . . . . 11 𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5141, 43, 45, 47, 48, 49, 50fsum2dlem 14343 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5251exp31 628 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5352a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5440, 53syl5 33 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5554expcom 450 . . . . . 6 𝑦𝑥 → (𝜑 → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5655a2d 29 . . . . 5 𝑦𝑥 → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5756adantl 481 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 8086 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
592, 58mpcom 37 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
601, 59mpi 20 1 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  ∪ ciun 4455   × cxp 5036  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  fsumxp  14345  fsumcom2  14347  fsumcom2OLD  14348  ovoliunlem1  23077  fsumvma  24738  eulerpartlemgs2  29769  dvnprodlem2  38837
 Copyright terms: Public domain W3C validator