Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolyval 14619
 Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6113 . . . . . 6 (#‘dom 𝑐) ∈ V
2 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → (𝑋𝑛) = (𝑋↑(#‘dom 𝑐)))
3 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → (𝑛C𝑚) = ((#‘dom 𝑐)C𝑚))
4 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → (𝑛𝑚) = ((#‘dom 𝑐) − 𝑚))
54oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → ((𝑛𝑚) + 1) = (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))
65oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)) = ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))
73, 6oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = (((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
87sumeq2sdv 14282 . . . . . . 7 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
92, 8oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑛 = (#‘dom 𝑐) → ((𝑋𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))
101, 9csbie 3525 . . . . 5 (#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)))) = ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))
11 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (𝑛C𝑚) = (𝑛C𝑘))
12 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → (𝑐𝑚) = (𝑐𝑘))
13 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝑛𝑚) = (𝑛𝑘))
1413oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛𝑚) + 1) = ((𝑛𝑘) + 1))
1512, 14oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)) = ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
1611, 15oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
1716cbvsumv 14274 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
18 dmeq 5246 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑔 → dom 𝑐 = dom 𝑔)
19 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑔 → (𝑐𝑘) = (𝑔𝑘))
2019oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)) = ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))
2120oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝑔𝑘 ∈ dom 𝑐) → ((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
2318, 22sumeq12dv 14284 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑘 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑘) · ((𝑐𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
2417, 23syl5eq 2656 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑔 → Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1))) = Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1))))
2524oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)))) = ((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
2625csbeq2dv 3944 . . . . 5 (𝑐 = 𝑔(#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐((𝑛C𝑚) · ((𝑐𝑚) / ((𝑛𝑚) + 1)))) = (#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
2710, 26syl5eqr 2658 . . . 4 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = (#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
2818fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑐 = 𝑔 → (#‘dom 𝑐) = (#‘dom 𝑔))
2928csbeq1d 3506 . . . 4 (𝑐 = 𝑔(#‘dom 𝑐) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))) = (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
3027, 29eqtrd 2644 . . 3 (𝑐 = 𝑔 → ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))) = (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
3130cbvmptv 4678 . 2 (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))) = (𝑔 ∈ V ↦ (#‘dom 𝑔) / 𝑛((𝑋𝑛) − Σ𝑘 ∈ dom 𝑔((𝑛C𝑘) · ((𝑔𝑘) / ((𝑛𝑘) + 1)))))
32 eqid 2610 . 2 wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1)))))) = wrecs( < , ℕ0, (𝑐 ∈ V ↦ ((𝑋↑(#‘dom 𝑐)) − Σ𝑚 ∈ dom 𝑐(((#‘dom 𝑐)C𝑚) · ((𝑐𝑚) / (((#‘dom 𝑐) − 𝑚) + 1))))))
3331, 32bpolylem 14618 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (𝑁 BernPoly 𝑋) = ((𝑋𝑁) − Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝑁C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((𝑁𝑘) + 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⦋csb 3499   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  wrecscwrecs 7293  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Ccbc 12951  #chash 12979  Σcsu 14264   BernPoly cbp 14616 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-hash 12980  df-sum 14265  df-bpoly 14617 This theorem is referenced by:  bpoly0  14620  bpoly1  14621  bpolycl  14622  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  bpoly2  14627  bpoly3  14628  bpoly4  14629
 Copyright terms: Public domain W3C validator