Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpolyval Unicode version

Theorem bpolyval 25999
Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, N    k, X

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables  e 
f  g  m  n  s  x  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( # `  dom  c )  e. 
_V
2 nfcv 2540 . . . . . 6  |-  F/_ n
( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )
3 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ ( # `
 dom  c )
) )
4 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
n  _C  m )  =  ( ( # `  dom  c )  _C  m ) )
5 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
n  -  m )  =  ( ( # `  dom  c )  -  m ) )
65oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( n  -  m
)  +  1 )  =  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) )
76oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( c `  m
)  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) )  =  ( ( c `
 m )  / 
( ( ( # `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) )
84, 7oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( n  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) )
98sumeq2sdv 12453 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) )
103, 9oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c
( ( ( # `  dom  c )  _C  m )  x.  (
( c `  m
)  /  ( ( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) )
111, 2, 10csbief 3252 . . . . 5  |-  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )
12 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  k ) )
13 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
c `  m )  =  ( c `  k ) )
14 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
n  -  m )  =  ( n  -  k ) )
1514oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  -  m
)  +  1 )  =  ( ( n  -  k )  +  1 ) )
1613, 15oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( c `  m
)  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) )  =  ( ( c `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )
1712, 16oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
1817cbvsumv 12445 . . . . . . . 8  |-  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  c ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) )
19 dmeq 5029 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  g  ->  dom  c  =  dom  g )
20 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  g  ->  (
c `  k )  =  ( g `  k ) )
2120oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  g  ->  (
( c `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )
2221oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  g  ->  (
( n  _C  k
)  x.  ( ( c `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  g  /\  k  e.  dom  c )  ->  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )
2419, 23sumeq12dv 12455 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  g  ->  sum_ k  e.  dom  c ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2518, 24syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( c  =  g  ->  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2625oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g
( ( n  _C  k )  x.  (
( g `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
2726csbeq2dv 3236 . . . . 5  |-  ( c  =  g  ->  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
2811, 27syl5eqr 2450 . . . 4  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
2919fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( c  =  g  ->  ( # `
 dom  c )  =  ( # `  dom  g ) )
3029csbeq1d 3217 . . . 4  |-  ( c  =  g  ->  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
3128, 30eqtrd 2436 . . 3  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
3231cbvmptv 4260 . 2  |-  ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( g  e. 
_V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
33 fneq2 5494 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
a  Fn  x  <->  a  Fn  s ) )
34 sseq1 3329 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  (
x  C_  NN0  <->  s  C_  NN0 ) )
35 predeq3 25385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  =  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) )
3635sseq1d 3335 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  ( Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  C_  x  <->  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x
) )
3736cbvralv 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x  <->  A. e  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  x
)
38 sseq2 3330 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  ( Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x  <->  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  s
) )
3938raleqbi1dv 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  ( A. e  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x  <->  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
) )
4037, 39syl5bb 249 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  ( A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  C_  x  <->  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
) )
4134, 40anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  <->  ( s  C_  NN0 
/\  A. e  e.  s 
Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  s ) ) )
42 raleq 2864 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  ( A. b  e.  x  ( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. b  e.  s  ( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) )
4333, 41, 423anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( x  =  s  ->  (
( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  ( a  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) ) )
4443cbvexv 2053 . . . . 5  |-  ( E. x ( a  Fn  x  /\  ( x 
C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) 
C_  x )  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( a  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) )
45 fneq1 5493 . . . . . . 7  |-  ( a  =  f  ->  (
a  Fn  s  <->  f  Fn  s ) )
46 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  (
a `  b )  =  ( a `  e ) )
4735reseq2d 5105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) )  =  ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )
4847fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  (
( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
4946, 48eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  e  ->  (
( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  ( a `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5049cbvralv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  s  (
a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. e  e.  s 
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
51 fveq1 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  (
a `  e )  =  ( f `  e ) )
52 reseq1 5099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  f  ->  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) )  =  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )
5352fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  (
( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
5451, 53eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  f  ->  (
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5554ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  f  ->  ( A. e  e.  s 
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  A. e  e.  s  ( f `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5650, 55syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( a  =  f  ->  ( A. b  e.  s 
( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. e  e.  s  ( f `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5745, 563anbi13d 1256 . . . . . 6  |-  ( a  =  f  ->  (
( a  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
5857exbidv 1633 . . . . 5  |-  ( a  =  f  ->  ( E. s ( a  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
5944, 58syl5bb 249 . . . 4  |-  ( a  =  f  ->  ( E. x ( a  Fn  x  /\  ( x 
C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) 
C_  x )  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
6059cbvabv 2523 . . 3  |-  { a  |  E. x ( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) }  =  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
6160unieqi 3985 . 2  |-  U. {
a  |  E. x
( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
6232, 61bpolylem 25998 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211    C_ wss 3280   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    |` cres 4839    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    - cmin 9247    / cdiv 9633   NN0cn0 10177   ...cfz 10999   ^cexp 11337    _C cbc 11548   #chash 11573   sum_csu 12434   Predcpred 25381   BernPoly cbp 25996
This theorem is referenced by:  bpoly0  26000  bpoly1  26001  bpolycl  26002  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  bpoly2  26007  bpoly3  26008  bpoly4  26009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-hash 11574  df-sum 12435  df-pred 25382  df-bpoly 25997
  Copyright terms: Public domain W3C validator