Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fztp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fztp 12267
 Description: A finite interval of integers with three elements. (Contributed by NM, 13-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fztp (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})

Proof of Theorem fztp
StepHypRef Expression
1 uzid 11578 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2 peano2uz 11617 . . 3 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
3 fzsuc 12258 . . 3 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}))
5 zcn 11259 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
6 ax-1cn 9873 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
7 addass 9902 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
86, 6, 7mp3an23 1408 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
95, 8syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1)))
10 df-2 10956 . . . . 5 2 = (1 + 1)
1110oveq2i 6560 . . . 4 (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
129, 11syl6eqr 2662 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + 2))
1312oveq2d 6565 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...((𝑀 + 1) + 1)) = (𝑀...(𝑀 + 2)))
14 fzpr 12266 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
1512sneqd 4137 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → {((𝑀 + 1) + 1)} = {(𝑀 + 2)})
1614, 15uneq12d 3730 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)}))
17 df-tp 4130 . . 3 {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)} = ({𝑀, (𝑀 + 1)} ∪ {(𝑀 + 2)})
1816, 17syl6eqr 2662 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑀 + 1)) ∪ {((𝑀 + 1) + 1)}) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
194, 13, 183eqtr3d 2652 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑀 + 2)) = {𝑀, (𝑀 + 1), (𝑀 + 2)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  fztpval  12272  fz0tp  12309  fz0to4untppr  12311  fzo0to3tp  12421  fzo1to4tp  12423  1cubr  24369  rabren3dioph  36397  nnsum4primesodd  40212  nnsum4primesoddALTV  40213
 Copyright terms: Public domain W3C validator