Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkntrllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkntrllem2 26090
 Description: Lemma 2 for wlkntrl 26092: The values of E after F are edges between two vertices enumerated by P. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkntrl.v 𝑉 = {𝑥, 𝑦}
wlkntrl.e 𝐸 = {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}
wlkntrl.f 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
wlkntrl.p 𝑃 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}
Assertion
Ref Expression
wlkntrllem2 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem wlkntrllem2
StepHypRef Expression
1 wlkntrl.f . . . . . . 7 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
21fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝐹‘0) = ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}‘0)
3 0ne1 10965 . . . . . . 7 0 ≠ 1
4 c0ex 9913 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54, 4fvpr1 6361 . . . . . . 7 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}‘0) = 0)
63, 5ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}‘0) = 0
72, 6eqtri 2632 . . . . 5 (𝐹‘0) = 0
87fveq2i 6106 . . . 4 (𝐸‘(𝐹‘0)) = (𝐸‘0)
9 wlkntrl.e . . . . . 6 𝐸 = {⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}
109fveq1i 6104 . . . . 5 (𝐸‘0) = ({⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}‘0)
11 prex 4836 . . . . . 6 {𝑥, 𝑦} ∈ V
124, 11fvsn 6351 . . . . 5 ({⟨0, {𝑥, 𝑦}⟩}‘0) = {𝑥, 𝑦}
1310, 12eqtri 2632 . . . 4 (𝐸‘0) = {𝑥, 𝑦}
14 wlkntrl.p . . . . . . 7 𝑃 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}
1514fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘0)
16 0ne2 11116 . . . . . . 7 0 ≠ 2
17 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
184, 17fvtp1 6365 . . . . . . 7 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥)
193, 16, 18mp2an 704 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥
2015, 19eqtr2i 2633 . . . . 5 𝑥 = (𝑃‘0)
2114fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝑃‘1) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘1)
22 1ne2 11117 . . . . . . 7 1 ≠ 2
23 1ex 9914 . . . . . . . 8 1 ∈ V
24 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
2523, 24fvtp2 6366 . . . . . . 7 ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘1) = 𝑦)
263, 22, 25mp2an 704 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘1) = 𝑦
2721, 26eqtr2i 2633 . . . . 5 𝑦 = (𝑃‘1)
2820, 27preq12i 4217 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
298, 13, 283eqtri 2636 . . 3 (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
301fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝐹‘1) = ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}‘1)
3123, 4fvpr2 6362 . . . . . . 7 (0 ≠ 1 → ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}‘1) = 0)
323, 31ax-mp 5 . . . . . 6 ({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}‘1) = 0
3330, 32eqtri 2632 . . . . 5 (𝐹‘1) = 0
3433fveq2i 6106 . . . 4 (𝐸‘(𝐹‘1)) = (𝐸‘0)
35 prcom 4211 . . . . 5 {𝑥, 𝑦} = {𝑦, 𝑥}
3614fveq1i 6104 . . . . . . 7 (𝑃‘2) = ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘2)
37 2ex 10969 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
3837, 17fvtp3 6367 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘2) = 𝑥)
3916, 22, 38mp2an 704 . . . . . . 7 ({⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑦⟩, ⟨2, 𝑥⟩}‘2) = 𝑥
4036, 39eqtr2i 2633 . . . . . 6 𝑥 = (𝑃‘2)
4127, 40preq12i 4217 . . . . 5 {𝑦, 𝑥} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4235, 41eqtri 2632 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4334, 13, 423eqtri 2636 . . 3 (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
44 0p1e1 11009 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
4544preq2i 4216 . . . . 5 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
4645raleqi 3119 . . . 4 (∀𝑘 ∈ {0, (0 + 1)} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
47 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘0))
4847fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
49 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
50 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
5150, 44syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
5251fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
5349, 52preq12d 4220 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
5448, 53eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
55 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
5655fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
57 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
58 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
59 1p1e2 11011 . . . . . . . . 9 (1 + 1) = 2
6058, 59syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
6160fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
6257, 61preq12d 4220 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
6356, 62eqeq12d 2625 . . . . 5 (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
644, 23, 54, 63ralpr 4185 . . . 4 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
6546, 64bitri 263 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, (0 + 1)} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
6629, 43, 65mpbir2an 957 . 2 𝑘 ∈ {0, (0 + 1)} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
67 0z 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
6867, 67pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
6968, 12trllemA 26080 . . . . 5 (#‘𝐹) = 2
7069oveq2i 6560 . . . 4 (0..^(#‘𝐹)) = (0..^2)
71 2z 11286 . . . . 5 2 ∈ ℤ
72 fzoval 12340 . . . . 5 (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
7371, 72ax-mp 5 . . . 4 (0..^2) = (0...(2 − 1))
74 2m1e1 11012 . . . . . 6 (2 − 1) = 1
7574oveq2i 6560 . . . . 5 (0...(2 − 1)) = (0...1)
76 1e0p1 11428 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
7776oveq2i 6560 . . . . 5 (0...1) = (0...(0 + 1))
78 fzpr 12266 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
7967, 78ax-mp 5 . . . . 5 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
8075, 77, 793eqtri 2636 . . . 4 (0...(2 − 1)) = {0, (0 + 1)}
8170, 73, 803eqtri 2636 . . 3 (0..^(#‘𝐹)) = {0, (0 + 1)}
8281raleqi 3119 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, (0 + 1)} (𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
8366, 82mpbir 220 1 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  2c2 10947  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  wlkntrl  26092
 Copyright terms: Public domain W3C validator