Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0to42pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzo0to42pr 12422
 Description: A half-open integer range from 0 to 4 is a union of two unordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
fzo0to42pr (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})

Proof of Theorem fzo0to42pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 11186 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 4nn0 11188 . . . 4 4 ∈ ℕ0
3 2re 10967 . . . . 5 2 ∈ ℝ
4 4re 10974 . . . . 5 4 ∈ ℝ
5 2lt4 11075 . . . . 5 2 < 4
63, 4, 5ltleii 10039 . . . 4 2 ≤ 4
7 elfz2nn0 12300 . . . 4 (2 ∈ (0...4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1237 . . 3 2 ∈ (0...4)
9 fzosplit 12370 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4)))
108, 9ax-mp 5 . 2 (0..^4) = ((0..^2) ∪ (2..^4))
11 fzo0to2pr 12420 . . 3 (0..^2) = {0, 1}
12 4z 11288 . . . . 5 4 ∈ ℤ
13 fzoval 12340 . . . . 5 (4 ∈ ℤ → (2..^4) = (2...(4 − 1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (2..^4) = (2...(4 − 1))
15 4cn 10975 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
16 ax-1cn 9873 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
17 3cn 10972 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
18 df-4 10958 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
1917, 16addcomi 10106 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = (1 + 3)
2018, 19eqtri 2632 . . . . . . . . 9 4 = (1 + 3)
2120eqcomi 2619 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
2215, 16, 17, 21subaddrii 10249 . . . . . . 7 (4 − 1) = 3
23 df-3 10957 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
2422, 23eqtri 2632 . . . . . 6 (4 − 1) = (2 + 1)
2524oveq2i 6560 . . . . 5 (2...(4 − 1)) = (2...(2 + 1))
26 2z 11286 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
27 fzpr 12266 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
2826, 27ax-mp 5 . . . . 5 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
2925, 28eqtri 2632 . . . 4 (2...(4 − 1)) = {2, (2 + 1)}
3023eqcomi 2619 . . . . 5 (2 + 1) = 3
3130preq2i 4216 . . . 4 {2, (2 + 1)} = {2, 3}
3214, 29, 313eqtri 2636 . . 3 (2..^4) = {2, 3}
3311, 32uneq12i 3727 . 2 ((0..^2) ∪ (2..^4)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
3410, 33eqtri 2632 1 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  {cpr 4127   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by:  4cycl4v4e  26194  4cycl4dv4e  26196  3pthdlem1  41331  upgr4cycl4dv4e  41352
 Copyright terms: Public domain W3C validator