Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz0to4untppr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0to4untppr 12311
 Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
fz0to4untppr (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr
StepHypRef Expression
1 df-3 10957 . . . . 5 3 = (2 + 1)
2 2cn 10968 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
32addid2i 10103 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
43eqcomi 2619 . . . . . 6 2 = (0 + 2)
54oveq1i 6559 . . . . 5 (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
61, 5eqtri 2632 . . . 4 3 = ((0 + 2) + 1)
7 3z 11287 . . . . 5 3 ∈ ℤ
8 0re 9919 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 3re 10971 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
10 3pos 10991 . . . . . 6 0 < 3
118, 9, 10ltleii 10039 . . . . 5 0 ≤ 3
12 0z 11265 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
1312eluz1i 11571 . . . . 5 (3 ∈ (ℤ‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
147, 11, 13mpbir2an 957 . . . 4 3 ∈ (ℤ‘0)
156, 14eqeltrri 2685 . . 3 ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0)
16 4z 11288 . . . . 5 4 ∈ ℤ
17 2re 10967 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
18 4re 10974 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
19 2lt4 11075 . . . . . 6 2 < 4
2017, 18, 19ltleii 10039 . . . . 5 2 ≤ 4
21 2z 11286 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2221eluz1i 11571 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
2316, 20, 22mpbir2an 957 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
244fveq2i 6106 . . . 4 (ℤ‘2) = (ℤ‘(0 + 2))
2523, 24eleqtri 2686 . . 3 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))
26 fzsplit2 12237 . . 3 ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
2715, 25, 26mp2an 704 . 2 (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28 fztp 12267 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
2912, 28ax-mp 5 . . . 4 (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30 ax-1cn 9873 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31 eqidd 2611 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32 addid2 10098 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
333a1i 11 . . . . . 6 (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
3431, 32, 33tpeq123d 4227 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
3530, 34ax-mp 5 . . . 4 {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
3629, 35eqtri 2632 . . 3 (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
373a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
3837oveq1d 6564 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
3938, 1syl6eqr 2662 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
4039oveq1d 6564 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 3 = 3
42 df-4 10958 . . . . . . . . . 10 4 = (3 + 1)
4341, 42pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45 3lt4 11074 . . . . . . . . . . 11 3 < 4
469, 18, 45ltleii 10039 . . . . . . . . . 10 3 ≤ 4
477eluz1i 11571 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
4816, 46, 47mpbir2an 957 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘3)
49 fzopth 12249 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
5144, 50sylibr 223 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52 fzpr 12266 . . . . . . 7 (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
5351, 52eqtrd 2644 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
5442eqcomi 2619 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
5554preq2i 4216 . . . . . 6 {3, (3 + 1)} = {3, 4}
5653, 55syl6eq 2660 . . . . 5 (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
5740, 56eqtrd 2644 . . . 4 (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
587, 57ax-mp 5 . . 3 (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
5936, 58uneq12i 3727 . 2 ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
6027, 59eqtri 2632 1 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  {cpr 4127  {ctp 4129   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  prm23lt5  15357  usgraexmplvtx  25931  usgrexmplvtx  40485
 Copyright terms: Public domain W3C validator