Theorem fz0to4untppr 12311

Description: An integer range from 0 to 4 is the union of a triple and a pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fz0to4untppr	⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Proof of Theorem fz0to4untppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 10957	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2cn 10968	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	2	addid2i 10103	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
4	3	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ 2 = (0 + 2)
5	4	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = ((0 + 2) + 1)
6	1, 5	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ 3 = ((0 + 2) + 1)
7		3z 11287	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
8		0re 9919	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		3re 10971	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
10		3pos 10991	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
11	8, 9, 10	ltleii 10039	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 3
12		0z 11265	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	eluz1i 11571	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
14	7, 11, 13	mpbir2an 957	. . . 4 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
15	6, 14	eqeltrri 2685	. . 3 ⊢ ((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0)
16		4z 11288	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
17		2re 10967	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
18		4re 10974	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
19		2lt4 11075	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
20	17, 18, 19	ltleii 10039	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
21		2z 11286	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
22	21	eluz1i 11571	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
23	16, 20, 22	mpbir2an 957	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
24	4	fveq2i 6106	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(0 + 2))
25	23, 24	eleqtri 2686	. . 3 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))
26		fzsplit2 12237	. . 3 ⊢ ((((0 + 2) + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 4 ∈ (ℤ≥‘(0 + 2))) → (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)))
27	15, 25, 26	mp2an 704	. 2 ⊢ (0...4) = ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4))
28		fztp 12267	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
29	12, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)}
30		ax-1cn 9873	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → 0 = 0)
32		addid2 10098	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 1) = 1)
33	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℂ → (0 + 2) = 2)
34	31, 32, 33	tpeq123d 4227	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
35	30, 34	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2}
36	29, 35	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
37	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
38	37	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = (2 + 1))
39	38, 1	syl6eqr 2662	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → ((0 + 2) + 1) = 3)
40	39	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = (3...4))
41		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 = 3
42		df-4 10958	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 = (3 + 1)
43	41, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
45		3lt4 11074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 < 4
46	9, 18, 45	ltleii 10039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≤ 4
47	7	eluz1i 11571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
48	16, 46, 47	mpbir2an 957	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
49		fzopth 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) → ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1))))
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((3...4) = (3...(3 + 1)) ↔ (3 = 3 ∧ 4 = (3 + 1)))
51	44, 50	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = (3...(3 + 1)))
52		fzpr 12266	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...(3 + 1)) = {3, (3 + 1)})
53	51, 52	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, (3 + 1)})
54	42	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
55	54	preq2i 4216	. . . . . 6 ⊢ {3, (3 + 1)} = {3, 4}
56	53, 55	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3...4) = {3, 4})
57	40, 56	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℤ → (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4})
58	7, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((0 + 2) + 1)...4) = {3, 4}
59	36, 58	uneq12i 3727	. 2 ⊢ ((0...(0 + 2)) ∪ (((0 + 2) + 1)...4)) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
60	27, 59	eqtri 2632	1 ⊢ (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538  {cpr 4127  {ctp 4129   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  prm23lt5  15357  usgraexmplvtx  25931  usgrexmplvtx  40485