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Theorem gexdvds 17822
 Description: The only 𝑁 that annihilate all the elements of the group are the multiples of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3 · = (.g𝐺)
gexid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexdvds ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, ·

Proof of Theorem gexdvds
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 gexcl.2 . . . . . 6 𝐸 = (gEx‘𝐺)
3 gexid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
4 gexid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
51, 2, 3, 4gexdvdsi 17821 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝑥) = 0 )
653expia 1259 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸𝑁 → (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
76ralrimdva 2952 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝐸𝑁 → ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
87adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 → ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
9 noel 3878 . . . . . . 7 ¬ (abs‘𝑁) ∈ ∅
10 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (abs‘𝑁) → (𝑦 · 𝑥) = ((abs‘𝑁) · 𝑥))
1110eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (abs‘𝑁) → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
1211ralbidv 2969 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (abs‘𝑁) → (∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
1312elrab 3331 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
14 simprr 792 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)
1514eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (abs‘𝑁) ∈ ∅))
1613, 15syl5rbbr 274 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ ∅ ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 )))
1716rbaibd 947 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ) → ((abs‘𝑁) ∈ ∅ ↔ (abs‘𝑁) ∈ ℕ))
189, 17mtbii 315 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ) → ¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
1918ex 449 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 → ¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ))
20 nn0abscl 13900 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
2120ad2antlr 759 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
22 elnn0 11171 . . . . . . 7 ((abs‘𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
2321, 22sylib 207 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
2423ord 391 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 0))
2519, 24syld 46 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 → (abs‘𝑁) = 0))
26 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2726oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑁) · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
2827eqeq1d 2612 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
29 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑥))
3029eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (-𝑁 · 𝑥) = 0 ))
31 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐺) = (invg𝐺)
321, 3, 31mulgneg 17383 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋) → (-𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)))
33323expa 1257 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (-𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)))
344, 31grpinvid 17299 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
3534ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
3635eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 0 = ((invg𝐺)‘ 0 ))
3733, 36eqeq12d 2625 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((-𝑁 · 𝑥) = 0 ↔ ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)) = ((invg𝐺)‘ 0 )))
38 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
391, 3mulgcl 17382 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁 · 𝑥) ∈ 𝑋)
40393expa 1257 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁 · 𝑥) ∈ 𝑋)
411, 4grpidcl 17273 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
4241ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 0𝑋)
431, 31, 38, 40, 42grpinv11 17307 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)) = ((invg𝐺)‘ 0 ) ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
4437, 43bitrd 267 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((-𝑁 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
4530, 44sylan9bbr 733 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
46 zre 11258 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4746ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑁 ∈ ℝ)
4847absord 14002 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
4928, 45, 48mpjaodan 823 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5049ralbidva 2968 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5150adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
52 0dvds 14840 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
5352ad2antlr 759 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
54 simprl 790 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → 𝐸 = 0)
5554breq1d 4593 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
56 zcn 11259 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5756ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → 𝑁 ∈ ℂ)
5857abs00ad 13878 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
5953, 55, 583bitr4rd 300 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝐸𝑁))
6025, 51, 593imtr3d 281 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
61 elrabi 3328 . . . 4 (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝐸 ∈ ℕ)
6246adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
63 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℝ+)
64 modval 12532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6562, 63, 64syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6665adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6766oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥))
68 simplll 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
69 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 nnz 11276 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℤ)
7170ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∈ ℤ)
72 rerpdivcl 11737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 / 𝐸) ∈ ℝ)
7362, 63, 72syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐸) ∈ ℝ)
7473flcld 12461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ)
7671, 75zmulcld 11364 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) ∈ ℤ)
77 simprl 790 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝑥𝑋)
78 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐺) = (-g𝐺)
791, 3, 78mulgsubdir 17405 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋)) → ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥) = ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)))
8068, 69, 76, 77, 79syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥) = ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)))
81 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝑁 · 𝑥) = 0 )
82 dvdsmul1 14841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ) → 𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))))
8371, 75, 82syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))))
841, 2, 3, 4gexdvdsi 17821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) → ((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥) = 0 )
8568, 77, 83, 84syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥) = 0 )
8681, 85oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)) = ( 0 (-g𝐺) 0 ))
87 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
8841ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 0𝑋)
891, 4, 78grpsubid 17322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0𝑋) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
9087, 88, 89syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
9190adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
9286, 91eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)) = 0 )
9367, 80, 923eqtrd 2648 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 )
9493expr 641 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁 · 𝑥) = 0 → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ))
9594ralimdva 2945 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 → ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ))
96 modlt 12541 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐸) < 𝐸)
9762, 63, 96syl2an 493 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) < 𝐸)
98 zmodcl 12552 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0)
9998adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0)
10099nn0red 11229 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℝ)
101 nnre 10904 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℝ)
102101adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ)
103100, 102ltnled 10063 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐸) < 𝐸 ↔ ¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
10497, 103mpbid 221 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
1051, 2, 3, 4gexlem2 17820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...(𝑁 mod 𝐸)))
106 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ (1...(𝑁 mod 𝐸)) → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
1081073expia 1259 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
109108impancom 455 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
110109con3d 147 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ))
111110ex 449 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ)))
112111ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ)))
113104, 112mpid 43 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ))
114 elnn0 11171 . . . . . . . 8 ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
11599, 114sylib 207 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
116115ord 391 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝐸) = 0))
11795, 113, 1163syld 58 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 → (𝑁 mod 𝐸) = 0))
118 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℕ)
119 simplr 788 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
120 dvdsval3 14825 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
121118, 119, 120syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝐸𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
122117, 121sylibrd 248 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
12361, 122sylan2 490 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
124 eqid 2610 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
1251, 3, 4, 2, 124gexlem1 17817 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
126125adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
12760, 123, 126mpjaodan 823 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
1288, 127impbid 201 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453   mod cmo 12530  abscabs 13822   ∥ cdvds 14821  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  .gcmg 17363  gExcgex 17768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-gex 17772 This theorem is referenced by:  gexdvds2  17823
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