Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4prm 40025
 Description: The 4-th Fermat number (65537) is a prime (the fifth Fermat prime). (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prm (FermatNo‘4) ∈ ℙ

Proof of Theorem fmtno4prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11188 . . . 4 4 ∈ ℕ0
2 fmtno 39979 . . . 4 (4 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (FermatNo‘4) = ((2↑(2↑4)) + 1)
4 2nn 11062 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
5 2nn0 11186 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
65, 1nn0expcli 12748 . . . . . 6 (2↑4) ∈ ℕ0
7 nnexpcl 12735 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ (2↑4) ∈ ℕ0) → (2↑(2↑4)) ∈ ℕ)
84, 6, 7mp2an 704 . . . . 5 (2↑(2↑4)) ∈ ℕ
9 2re 10967 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
10 nnexpcl 12735 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
114, 1, 10mp2an 704 . . . . . 6 (2↑4) ∈ ℕ
12 1lt2 11071 . . . . . 6 1 < 2
13 expgt1 12760 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (2↑4) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(2↑4)))
149, 11, 12, 13mp3an 1416 . . . . 5 1 < (2↑(2↑4))
15 eluz2b2 11637 . . . . 5 ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((2↑(2↑4)) ∈ ℕ ∧ 1 < (2↑(2↑4))))
168, 14, 15mpbir2an 957 . . . 4 (2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2)
17 peano2uz 11617 . . . 4 ((2↑(2↑4)) ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ‘2))
1816, 17ax-mp 5 . . 3 ((2↑(2↑4)) + 1) ∈ (ℤ‘2)
193, 18eqeltri 2684 . 2 (FermatNo‘4) ∈ (ℤ‘2)
20 elinel2 3762 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∈ ℙ)
22 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
23 elinel1 3761 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))))
24 elfzle2 12216 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
2625adantr 480 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))))
27 fmtno4prmfac193 40023 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑝 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → 𝑝 = 193)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → 𝑝 = 193)
29 fmtno4nprmfac193 40024 . . . . . 6 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
30 breq1 4586 . . . . . 6 (𝑝 = 193 → (𝑝 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ (FermatNo‘4)))
3129, 30mtbiri 316 . . . . 5 (𝑝 = 193 → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3228, 31syl 17 . . . 4 ((𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3332pm2.01da 457 . . 3 (𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4))
3433rgen 2906 . 2 𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)
35 isprm7 15258 . 2 ((FermatNo‘4) ∈ ℙ ↔ ((FermatNo‘4) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑝 ∈ ((2...(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) ∩ ℙ) ¬ 𝑝 ∥ (FermatNo‘4)))
3619, 34, 35mpbir2an 957 1 (FermatNo‘4) ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  9c9 10954  ℕ0cn0 11169  ;cdc 11369  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722  √csqrt 13821   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  FermatNocfmtno 39977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380  df-lgs 24820  df-fmtno 39978 This theorem is referenced by:  65537prm  40026  fmtnofz04prm  40027
 Copyright terms: Public domain W3C validator