Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno4nprmfac193 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno4nprmfac193 40024
Description: 193 is not a (prime) factor of the fourth Fermat number. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4nprmfac193 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)

Proof of Theorem fmtno4nprmfac193
StepHypRef Expression
1 1nn0 11185 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 9nn0 11193 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
31, 2deccl 11388 . . . 4 19 ∈ ℕ0
4 3nn 11063 . . . 4 3 ∈ ℕ
53, 4decnncl 11394 . . 3 193 ∈ ℕ
6 3nn0 11187 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
76, 6deccl 11388 . . . 4 33 ∈ ℕ0
87, 2deccl 11388 . . 3 339 ∈ ℕ0
9 1nn 10908 . . . . 5 1 ∈ ℕ
101, 9decnncl 11394 . . . 4 11 ∈ ℕ
1110decnncl2 11401 . . 3 110 ∈ ℕ
12 6nn0 11190 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
13 5nn0 11189 . . . . . . 7 5 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11388 . . . . . 6 65 ∈ ℕ0
15 4nn0 11188 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
1614, 15deccl 11388 . . . . 5 654 ∈ ℕ0
17 2nn0 11186 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
1816, 17deccl 11388 . . . 4 6542 ∈ ℕ0
19 7nn0 11191 . . . 4 7 ∈ ℕ0
201, 1deccl 11388 . . . 4 11 ∈ ℕ0
21 0nn0 11184 . . . 4 0 ∈ ℕ0
223, 6deccl 11388 . . . . 5 193 ∈ ℕ0
23 eqid 2610 . . . . 5 339 = 339
241, 19deccl 11388 . . . . . 6 17 ∈ ℕ0
2524, 6deccl 11388 . . . . 5 173 ∈ ℕ0
26 eqid 2610 . . . . . 6 33 = 33
27 eqid 2610 . . . . . 6 173 = 173
28 8nn0 11192 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
2913, 28deccl 11388 . . . . . 6 58 ∈ ℕ0
3013, 19deccl 11388 . . . . . . 7 57 ∈ ℕ0
31 eqid 2610 . . . . . . . 8 193 = 193
32 eqid 2610 . . . . . . . . 9 19 = 19
33 3cn 10972 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
3433mulid2i 9922 . . . . . . . . . . 11 (1 · 3) = 3
3534oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 ((1 · 3) + 2) = (3 + 2)
36 3p2e5 11037 . . . . . . . . . 10 (3 + 2) = 5
3735, 36eqtri 2632 . . . . . . . . 9 ((1 · 3) + 2) = 5
38 9t3e27 11540 . . . . . . . . 9 (9 · 3) = 27
396, 1, 2, 32, 19, 17, 37, 38decmul1c 11463 . . . . . . . 8 (19 · 3) = 57
40 3t3e9 11057 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
416, 3, 6, 31, 2, 39, 40decmul1 11461 . . . . . . 7 (193 · 3) = 579
42 eqid 2610 . . . . . . . 8 17 = 17
43 eqid 2610 . . . . . . . 8 58 = 58
44 5cn 10977 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
45 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
46 5p1e6 11032 . . . . . . . . . . 11 (5 + 1) = 6
4744, 45, 46addcomli 10107 . . . . . . . . . 10 (1 + 5) = 6
4847oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((1 + 5) + 1) = (6 + 1)
49 6p1e7 11033 . . . . . . . . 9 (6 + 1) = 7
5048, 49eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((1 + 5) + 1) = 7
51 8cn 10983 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
52 7cn 10981 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
53 8p7e15 11493 . . . . . . . . 9 (8 + 7) = 15
5451, 52, 53addcomli 10107 . . . . . . . 8 (7 + 8) = 15
551, 19, 13, 28, 42, 43, 50, 13, 54decaddc 11448 . . . . . . 7 (17 + 58) = 75
56 4p1e5 11031 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
57 eqid 2610 . . . . . . . . 9 57 = 57
58 7p7e14 11485 . . . . . . . . 9 (7 + 7) = 14
5913, 19, 19, 57, 46, 15, 58decaddci 11456 . . . . . . . 8 (57 + 7) = 64
6012, 15, 56, 59decsuc 11411 . . . . . . 7 ((57 + 7) + 1) = 65
61 9p5e14 11499 . . . . . . 7 (9 + 5) = 14
6230, 2, 19, 13, 41, 55, 60, 15, 61decaddc 11448 . . . . . 6 ((193 · 3) + (17 + 58)) = 654
63 7p1e8 11034 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6413, 19, 63, 57decsuc 11411 . . . . . . 7 (57 + 1) = 58
65 9p3e12 11497 . . . . . . 7 (9 + 3) = 12
6630, 2, 6, 41, 64, 17, 65decaddci 11456 . . . . . 6 ((193 · 3) + 3) = 582
676, 6, 24, 6, 26, 27, 22, 17, 29, 62, 66decma2c 11444 . . . . 5 ((193 · 33) + 173) = 6542
68 9cn 10985 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
6968mulid2i 9922 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
7069oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((1 · 9) + 8) = (9 + 8)
71 9p8e17 11502 . . . . . . . . 9 (9 + 8) = 17
7270, 71eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((1 · 9) + 8) = 17
73 9t9e81 11546 . . . . . . . 8 (9 · 9) = 81
742, 1, 2, 32, 1, 28, 72, 73decmul1c 11463 . . . . . . 7 (19 · 9) = 171
75 1p2e3 11029 . . . . . . 7 (1 + 2) = 3
7624, 1, 17, 74, 75decaddi 11455 . . . . . 6 ((19 · 9) + 2) = 173
7768, 33, 38mulcomli 9926 . . . . . 6 (3 · 9) = 27
782, 3, 6, 31, 19, 17, 76, 77decmul1c 11463 . . . . 5 (193 · 9) = 1737
7922, 7, 2, 23, 19, 25, 67, 78decmul2c 11465 . . . 4 (193 · 339) = 65427
80 eqid 2610 . . . 4 110 = 110
81 eqid 2610 . . . . 5 6542 = 6542
82 eqid 2610 . . . . 5 11 = 11
83 eqid 2610 . . . . . 6 654 = 654
8414, 15, 56, 83decsuc 11411 . . . . 5 (654 + 1) = 655
85 2p1e3 11028 . . . . 5 (2 + 1) = 3
8616, 17, 1, 1, 81, 82, 84, 85decadd 11446 . . . 4 (6542 + 11) = 6553
8752addid1i 10102 . . . 4 (7 + 0) = 7
8818, 19, 20, 21, 79, 80, 86, 87decadd 11446 . . 3 ((193 · 339) + 110) = 65537
89 10pos 11391 . . . 4 0 < 10
90 9nn 11069 . . . . 5 9 ∈ ℕ
91 1lt9 11106 . . . . 5 1 < 9
921, 1, 90, 91declt 11406 . . . 4 11 < 19
9320, 3, 21, 6, 89, 92decltc 11408 . . 3 110 < 193
945, 8, 11, 88, 93ndvdsi 14974 . 2 ¬ 193 ∥ 65537
95 fmtno4 40002 . . 3 (FermatNo‘4) = 65537
9695breq2i 4591 . 2 (193 ∥ (FermatNo‘4) ↔ 193 ∥ 65537)
9794, 96mtbir 312 1 ¬ 193 ∥ (FermatNo‘4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  cdc 11369  cdvds 14821  FermatNocfmtno 39977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-fmtno 39978
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  40025
  Copyright terms: Public domain W3C validator