Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofz04prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofz04prm 40027
 Description: The first five Fermat numbers are prime, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofz04prm (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)

Proof of Theorem fmtnofz04prm
StepHypRef Expression
1 4nn0 11188 . . 3 4 ∈ ℕ0
2 el1fzopredsuc 39948 . . 3 (4 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4)))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑁 ∈ (0...4) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4))
4 fveq2 6103 . . . 4 (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘0))
5 fmtno0prm 40008 . . . 4 (FermatNo‘0) ∈ ℙ
64, 5syl6eqel 2696 . . 3 (𝑁 = 0 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
7 eltpi 4176 . . . . 5 (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3))
8 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
9 fmtno1prm 40009 . . . . . . 7 (FermatNo‘1) ∈ ℙ
108, 9syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
11 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘2))
12 fmtno2prm 40010 . . . . . . 7 (FermatNo‘2) ∈ ℙ
1311, 12syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝑁 = 2 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
14 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘3))
15 fmtno3prm 40012 . . . . . . 7 (FermatNo‘3) ∈ ℙ
1614, 15syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝑁 = 3 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
1710, 13, 163jaoi 1383 . . . . 5 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
187, 17syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ {1, 2, 3} → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
19 fzo1to4tp 12423 . . . 4 (1..^4) = {1, 2, 3}
2018, 19eleq2s 2706 . . 3 (𝑁 ∈ (1..^4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
21 fveq2 6103 . . . 4 (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘4))
22 fmtno4prm 40025 . . . 4 (FermatNo‘4) ∈ ℙ
2321, 22syl6eqel 2696 . . 3 (𝑁 = 4 → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
246, 20, 233jaoi 1383 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ (1..^4) ∨ 𝑁 = 4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
253, 24sylbi 206 1 (𝑁 ∈ (0...4) → (FermatNo‘𝑁) ∈ ℙ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {ctp 4129  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  ℙcprime 15223  FermatNocfmtno 39977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380  df-lgs 24820  df-fmtno 39978 This theorem is referenced by:  fmtnole4prm  40028
 Copyright terms: Public domain W3C validator