MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm7 15258
Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to 𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 15257 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
isprm7 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7
StepHypRef Expression
1 isprm5 15257 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)))
2 prmz 15227 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
32zred 11358 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4 0red 9920 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5 1red 9934 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6 0lt1 10429 . . . . . . . . . 10 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8 prmgt1 15247 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
94, 5, 3, 7, 8lttrd 10077 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
104, 3, 9ltled 10064 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
113, 10jca 553 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12 eluzelre 11574 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13 0red 9920 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℝ)
14 2re 10967 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
16 0le2 10988 . . . . . . . . 9 0 ≤ 2
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 2)
18 eluzle 11576 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
1913, 15, 12, 17, 18letrd 10073 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑃)
2012, 19jca 553 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21 resqcl 12793 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22 sqge0 12802 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
2321, 22jca 553 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25 sqrtle 13849 . . . . . . . 8 ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
2624, 25sylan 487 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27 sqrtsq 13858 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
2827breq1d 4593 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
2928adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3026, 29bitrd 267 . . . . . 6 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3111, 20, 30syl2anr 494 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
3231imbi1d 330 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3332ralbidva 2968 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3433pm5.32i 667 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
35 impexp 461 . . . . 5 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)))
3612, 19resqrtcld 14004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
3736flcld 12461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
3837, 2anim12i 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40 prmuz2 15246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
41 eluzle 11576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑧)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
4342ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44 flge 12468 . . . . . . . . . . . . 13 (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
4536, 2, 44syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
4645biimpa 500 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47 2z 11286 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
48 elfz4 12206 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
4947, 48mp3anl1 1410 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
5039, 43, 46, 49syl12anc 1316 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
5150anasss 677 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52 simprl 790 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
5351, 52elind 3760 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
5453ex 449 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55 elin 3758 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
5756zred 11358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59 reflcl 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
6236adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65 flle 12462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
6858, 61, 62, 64, 67letrd 10073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
6968ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
7069anim1d 586 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
7155, 70syl5bi 231 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72 ancom 465 . . . . . . . 8 ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
7371, 72syl6ib 240 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
7454, 73impbid 201 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
7574imbi1d 330 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧𝑃)))
7635, 75syl5bbr 273 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧𝑃)))
7776ralbidv2 2967 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
7877pm5.32i 667 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
791, 34, 783bitri 285 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  wcel 1977  wral 2896  cin 3539   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954  2c2 10947  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  cfl 12453  cexp 12722  csqrt 13821  cdvds 14821  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  fmtno4prm  40025  31prm  40050
  Copyright terms: Public domain W3C validator