Theorem isprm7 15258

Description: One need only check prime divisors of 𝑃 up to √𝑃 in order to ensure primality. This version of isprm5 15257 combines the primality and bound on 𝑧 into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
isprm7	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm5 15257	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
2		prmz 15227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
3	2	zred 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
4		0red 9920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ∈ ℝ)
5		1red 9934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 ∈ ℝ)
6		0lt1 10429	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 1)
8		prmgt1 15247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 1 < 𝑧)
9	4, 5, 3, 7, 8	lttrd 10077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 < 𝑧)
10	4, 3, 9	ltled 10064	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 0 ≤ 𝑧)
11	3, 10	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧))
12		eluzelre 11574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
13		0red 9920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℝ)
14		2re 10967	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
16		0le2 10988	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 2
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 2)
18		eluzle 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
19	13, 15, 12, 17, 18	letrd 10073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝑃)
20	12, 19	jca 553	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃))
21		resqcl 12793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
22		sqge0 12802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝑧↑2))
23	21, 22	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)))
25		sqrtle 13849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑧↑2)) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
26	24, 25	sylan 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ (√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃)))
27		sqrtsq 13858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → (√‘(𝑧↑2)) = 𝑧)
28	27	breq1d 4593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((√‘(𝑧↑2)) ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
30	26, 29	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑃)) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
31	11, 20, 30	syl2anr 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
32	31	imbi1d 330	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
33	32	ralbidva 2968	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
34	33	pm5.32i 667	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ ((𝑧↑2) ≤ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
35		impexp 461	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
36	12, 19	resqrtcld 14004	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
37	36	flcld 12461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ)
38	37, 2	anim12i 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
40		prmuz2 15246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2))
41		eluzle 11576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑧)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℙ → 2 ≤ 𝑧)
43	42	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 2 ≤ 𝑧)
44		flge 12468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((√‘𝑃) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
45	36, 2, 44	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ↔ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃))))
46	45	biimpa 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
47		2z 11286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
48		elfz4 12206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
49	47, 48	mp3anl1 1410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
50	39, 43, 46, 49	syl12anc 1316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
51	50	anasss 677	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))))
52		simprl 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℙ)
53	51, 52	elind 3760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ))
54	53	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
55		elin 3758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ))
56		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℤ)
57	56	zred 11358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ∈ ℝ)
59		reflcl 12459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
60	36, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ∈ ℝ)
62	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (√‘𝑃) ∈ ℝ)
63		elfzle2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (⌊‘(√‘𝑃)))
65		flle 12462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((√‘𝑃) ∈ ℝ → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
66	36, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → (⌊‘(√‘𝑃)) ≤ (√‘𝑃))
68	58, 61, 62, 64, 67	letrd 10073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃)))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃))
69	68	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) → 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
70	69	anim1d 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ (2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
71	55, 70	syl5bi 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ)))
72		ancom 465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ≤ (√‘𝑃) ∧ 𝑧 ∈ ℙ) ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)))
73	71, 72	syl6ib 240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃))))
74	54, 73	impbid 201	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ)))
75	74	imbi1d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ≤ (√‘𝑃)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
76	35, 75	syl5bbr 273	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
77	76	ralbidv2 2967	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
78	77	pm5.32i 667	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℙ (𝑧 ≤ (√‘𝑃) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
79	1, 34, 78	3bitri 285	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ((2...(⌊‘(√‘𝑃))) ∩ ℙ) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722  √csqrt 13821   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224

This theorem is referenced by:  fmtno4prm  40025  31prm  40050