MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmz 15227
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 15226 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnzd 11357 1 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  cz 11254  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  dvdsprime  15238  oddprmge3  15250  exprmfct  15254  prmdvdsfz  15255  isprm5  15257  isprm7  15258  maxprmfct  15259  coprm  15261  prmrp  15262  euclemma  15263  prmdvdsexpb  15266  prmexpb  15268  prmfac1  15269  rpexp  15270  cncongrprm  15275  phiprmpw  15319  phiprm  15320  fermltl  15327  prmdiv  15328  prmdiveq  15329  vfermltl  15344  vfermltlALT  15345  reumodprminv  15347  modprm0  15348  oddprm  15353  prm23lt5  15357  prm23ge5  15358  pcneg  15416  pcprmpw2  15424  pcprmpw  15425  difsqpwdvds  15429  pcprod  15437  prmpwdvds  15446  prmunb  15456  prmreclem3  15460  prmreclem5  15462  1arithlem1  15465  1arithlem4  15468  1arith  15469  4sqlem11  15497  4sqlem12  15498  4sqlem13  15499  4sqlem14  15500  4sqlem17  15503  prmdvdsprmo  15584  prmdvdsprmop  15585  fvprmselgcd1  15587  prmgaplem4  15596  prmgaplem5  15597  prmgaplem6  15598  prmgaplem8  15600  pgpfi  17843  sylow2alem2  17856  sylow2blem3  17860  gexexlem  18078  ablfacrplem  18287  ablfac1lem  18290  ablfac1b  18292  ablfac1eu  18295  pgpfac1lem2  18297  pgpfac1lem3a  18298  pgpfac1lem3  18299  pgpfac1lem4  18300  ablfaclem3  18309  prmirredlem  19660  wilthlem1  24594  wilthlem2  24595  ppisval  24630  vmappw  24642  muval1  24659  dvdssqf  24664  mumullem1  24705  mumul  24707  sqff1o  24708  dvdsppwf1o  24712  musum  24717  ppiublem1  24727  ppiublem2  24728  chtublem  24736  vmasum  24741  perfect1  24753  bposlem3  24811  bposlem6  24814  lgslem1  24822  lgsval2lem  24832  lgsvalmod  24841  lgsmod  24848  lgsdirprm  24856  lgsdir  24857  lgsdilem2  24858  lgsdi  24859  lgsne0  24860  lgsprme0  24864  lgsqr  24876  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem4  24894  gausslemma2dlem5a  24895  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  lgseisen  24904  lgsquadlem2  24906  lgsquadlem3  24907  lgsquad2lem2  24910  m1lgs  24913  2lgslem1a  24916  2lgslem1  24919  2lgslem2  24920  2lgsoddprm  24941  2sqlem3  24945  2sqlem4  24946  2sqlem6  24948  2sqlem8  24951  2sqblem  24956  2sqb  24957  rpvmasumlem  24976  dchrisum0flblem1  24997  dchrisum0flblem2  24998  dirith  25018  clwwlkndivn  26364  2sqmod  28979  nn0prpwlem  31487  nn0prpw  31488  prmunb2  37532  nzprmdif  37540  etransclem48  39175  sfprmdvdsmersenne  40058  sgprmdvdsmersenne  40059  oddprmALTV  40136  oddprmne2  40162  bgoldbst  40200  sgoldbaltlem1  40201  sgoldbaltlem2  40202  nnsum3primesprm  40206  nnsum3primesgbe  40208  nnsum4primesodd  40212  nnsum4primesoddALTV  40213  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217  bgoldbtbndlem2  40222  bgoldbtbndlem3  40223  bgoldbtbndlem4  40224  bgoldbtbnd  40225  clwwlksndivn  41264  ztprmneprm  41918
  Copyright terms: Public domain W3C validator