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Theorem isprm7 36297
Description: One need only check prime divisors of  P up to  sqr P in order to ensure primality. This version of isprm5 14622 combines the primality and bound on  z into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
isprm7  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm7
StepHypRef Expression
1 isprm5 14622 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
2 prmz 14597 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
32zred 11040 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  RR )
4 0red 9643 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  e.  RR )
5 1red 9657 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  e.  RR )
6 0lt1 10135 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <  1 )
8 prmgt1 14614 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  < 
z )
94, 5, 3, 7, 8lttrd 9795 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  < 
z )
104, 3, 9ltled 9782 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <_ 
z )
113, 10jca 534 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z  e.  RR  /\  0  <_  z ) )
12 eluzelre 11169 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
13 0red 9643 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  e.  RR )
14 2re 10679 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  RR )
16 0le2 10700 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  2
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  2 )
18 eluzle 11171 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
1913, 15, 12, 17, 18letrd 9791 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  P )
2012, 19jca 534 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P ) )
21 resqcl 12339 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z ^ 2 )  e.  RR )
22 sqge0 12348 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  0  <_  ( z ^ 2 ) )
2321, 22jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( z ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^
2 ) ) )
2423adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( ( z ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^ 2 ) ) )
25 sqrtle 13303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^ 2 ) )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P ) )  -> 
( ( z ^
2 )  <_  P  <->  ( sqr `  ( z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P
) ) )
2624, 25sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( (
z ^ 2 )  <_  P  <->  ( sqr `  ( z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P ) ) )
27 sqrtsq 13312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( sqr `  (
z ^ 2 ) )  =  z )
2827breq1d 4436 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( ( sqr `  (
z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
2928adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( ( sqr `  ( z ^
2 ) )  <_ 
( sqr `  P
)  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3026, 29bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( (
z ^ 2 )  <_  P  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3111, 20, 30syl2anr 480 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( z ^ 2 )  <_  P  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3231imbi1d 318 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( ( z ^
2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
)  <->  ( z  <_ 
( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3332ralbidva 2868 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( z  <_ 
( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3433pm5.32i 641 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  <-> 
( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
35 impexp 447 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) )  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( z  e.  Prime  -> 
( z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3612, 19resqrtcld 13458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  P )  e.  RR )
3736flcld 12031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  ZZ )
3837, 2anim12i 568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
3938adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  (
( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
40 prmuz2 14613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
41 eluzle 11171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  z )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Prime  ->  2  <_ 
z )
4342ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  2  <_  z )
44 flge 12038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  P
)  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4536, 2, 44syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4645biimpa 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )
47 2z 10969 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
48 elfz4 11791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  (
2  <_  z  /\  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )  -> 
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4947, 48mp3anl1 1354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( 2  <_  z  /\  z  <_  ( |_
`  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) ) )
5039, 43, 46, 49syl12anc 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )
5150anasss 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
52 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  Prime )
5351, 52elind 3656 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  ( ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime ) )
5453ex 435 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )
) )
55 elin 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  <-> 
( z  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) )  /\  z  e.  Prime ) )
56 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
5756zred 11040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  e.  RR )
5857adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  e.  RR )
59 reflcl 12029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  P )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  RR )
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  RR )
6160adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  RR )
6236adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( sqr `  P
)  e.  RR )
63 elfzle2 11801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )
65 flle 12032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  P )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  <_  ( sqr `  P ) )
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  <_  ( sqr `  P ) )
6766adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  <_  ( sqr `  P ) )
6858, 61, 62, 64, 67letrd 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  <_  ( sqr `  P ) )
6968ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  <_  ( sqr `  P ) ) )
7069anim1d 566 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime ) ) )
7155, 70syl5bi 220 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime ) ) )
72 ancom 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime )  <->  ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
7371, 72syl6ib 229 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  ->  ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) ) ) )
7454, 73impbid 193 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  <->  z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )
) )
7574imbi1d 318 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) )  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7635, 75syl5bbr 262 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) )  <-> 
( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7776ralbidv2 2867 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  Prime  ( z  <_  ( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  -.  z  ||  P ) )
7877pm5.32i 641 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( z  <_  ( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
791, 34, 783bitri 274 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1870   A.wral 2782    i^i cin 3441   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    < clt 9674    <_ cle 9675   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   |_cfl 12023   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13275    || cdvds 14283   Primecprime 14593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-dvds 14284  df-prm 14594
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