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Theorem isprm7 31354
Description: One need only check prime divisors of  P up to  sqr P in order to ensure primality. This version of isprm5 14264 combines the primality and bound on  z into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
isprm7  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm7
StepHypRef Expression
1 isprm5 14264 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
2 prmz 14232 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
32zred 10990 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  RR )
4 0red 9614 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  e.  RR )
5 1red 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  e.  RR )
6 0lt1 10096 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <  1 )
8 prmgt1 14247 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  < 
z )
94, 5, 3, 7, 8lttrd 9760 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  < 
z )
104, 3, 9ltled 9750 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <_ 
z )
113, 10jca 532 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z  e.  RR  /\  0  <_  z ) )
12 eluzelre 11116 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
13 0red 9614 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  e.  RR )
14 2re 10626 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  RR )
16 0le2 10647 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  2
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  2 )
18 eluzle 11118 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
1913, 15, 12, 17, 18letrd 9756 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  P )
2012, 19jca 532 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P ) )
21 resqcl 12237 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z ^ 2 )  e.  RR )
22 sqge0 12246 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  0  <_  ( z ^ 2 ) )
2321, 22jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( z ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^
2 ) ) )
2423adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( ( z ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^ 2 ) ) )
25 sqrtle 13105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^ 2 ) )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P ) )  -> 
( ( z ^
2 )  <_  P  <->  ( sqr `  ( z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P
) ) )
2624, 25sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( (
z ^ 2 )  <_  P  <->  ( sqr `  ( z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P ) ) )
27 sqrtsq 13114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( sqr `  (
z ^ 2 ) )  =  z )
2827breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( ( sqr `  (
z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
2928adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( ( sqr `  ( z ^
2 ) )  <_ 
( sqr `  P
)  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3026, 29bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( (
z ^ 2 )  <_  P  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3111, 20, 30syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( z ^ 2 )  <_  P  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3231imbi1d 317 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( ( z ^
2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
)  <->  ( z  <_ 
( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3332ralbidva 2893 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( z  <_ 
( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3433pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  <-> 
( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
35 impexp 446 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) )  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( z  e.  Prime  -> 
( z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3612, 19resqrtcld 13260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  P )  e.  RR )
3736flcld 11937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  ZZ )
3837, 2anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  (
( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
40 prmuz2 14246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
41 eluzle 11118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  z )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Prime  ->  2  <_ 
z )
4342ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  2  <_  z )
44 flge 11944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  P
)  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4536, 2, 44syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4645biimpa 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )
47 2z 10917 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
48 elfz4 11706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  (
2  <_  z  /\  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )  -> 
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4947, 48mp3anl1 1318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( 2  <_  z  /\  z  <_  ( |_
`  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) ) )
5039, 43, 46, 49syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )
5150anasss 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
52 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  Prime )
5351, 52elind 3684 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  ( ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime ) )
5453ex 434 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )
) )
55 elin 3683 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  <-> 
( z  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) )  /\  z  e.  Prime ) )
56 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
5756zred 10990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  e.  RR )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  e.  RR )
59 reflcl 11935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  P )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  RR )
6036, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  RR )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  RR )
6236adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( sqr `  P
)  e.  RR )
63 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )
65 flle 11938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  P )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  <_  ( sqr `  P ) )
6636, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  <_  ( sqr `  P ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  <_  ( sqr `  P ) )
6858, 61, 62, 64, 67letrd 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  <_  ( sqr `  P ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  <_  ( sqr `  P ) ) )
7069anim1d 564 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime ) ) )
7155, 70syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime ) ) )
72 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime )  <->  ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
7371, 72syl6ib 226 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  ->  ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) ) ) )
7454, 73impbid 191 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  <->  z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )
) )
7574imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) )  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7635, 75syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) )  <-> 
( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7776ralbidv2 2892 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  Prime  ( z  <_  ( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  -.  z  ||  P ) )
7877pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( z  <_  ( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
791, 34, 783bitri 271 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   A.wral 2807    i^i cin 3470   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    < clt 9645    <_ cle 9646   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   |_cfl 11929   ^cexp 12168   sqrcsqrt 13077    || cdvds 13997   Primecprime 14228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-dvds 13998  df-prm 14229
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