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Theorem isprm7 36730
Description: One need only check prime divisors of  P up to  sqr P in order to ensure primality. This version of isprm5 14730 combines the primality and bound on  z into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
isprm7  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm7
StepHypRef Expression
1 isprm5 14730 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
2 prmz 14705 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
32zred 11063 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  RR )
4 0red 9662 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  e.  RR )
5 1red 9676 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  e.  RR )
6 0lt1 10157 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <  1 )
8 prmgt1 14722 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  < 
z )
94, 5, 3, 7, 8lttrd 9813 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  < 
z )
104, 3, 9ltled 9800 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <_ 
z )
113, 10jca 541 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z  e.  RR  /\  0  <_  z ) )
12 eluzelre 11193 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
13 0red 9662 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  e.  RR )
14 2re 10701 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  RR )
16 0le2 10722 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  2
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  2 )
18 eluzle 11195 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
1913, 15, 12, 17, 18letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  P )
2012, 19jca 541 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P ) )
21 resqcl 12380 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z ^ 2 )  e.  RR )
22 sqge0 12389 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  0  <_  ( z ^ 2 ) )
2321, 22jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( z ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^
2 ) ) )
2423adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( ( z ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^ 2 ) ) )
25 sqrtle 13401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^ 2 ) )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P ) )  -> 
( ( z ^
2 )  <_  P  <->  ( sqr `  ( z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P
) ) )
2624, 25sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( (
z ^ 2 )  <_  P  <->  ( sqr `  ( z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P ) ) )
27 sqrtsq 13410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( sqr `  (
z ^ 2 ) )  =  z )
2827breq1d 4405 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( ( sqr `  (
z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
2928adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( ( sqr `  ( z ^
2 ) )  <_ 
( sqr `  P
)  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3026, 29bitrd 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( (
z ^ 2 )  <_  P  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3111, 20, 30syl2anr 486 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( z ^ 2 )  <_  P  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3231imbi1d 324 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( ( z ^
2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
)  <->  ( z  <_ 
( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3332ralbidva 2828 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( z  <_ 
( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3433pm5.32i 649 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  <-> 
( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
35 impexp 453 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) )  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( z  e.  Prime  -> 
( z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3612, 19resqrtcld 13556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  P )  e.  RR )
3736flcld 12067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  ZZ )
3837, 2anim12i 576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
3938adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  (
( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
40 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
41 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  z )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Prime  ->  2  <_ 
z )
4342ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  2  <_  z )
44 flge 12074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  P
)  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4536, 2, 44syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4645biimpa 492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )
47 2z 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
48 elfz4 11819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  (
2  <_  z  /\  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )  -> 
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4947, 48mp3anl1 1384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( 2  <_  z  /\  z  <_  ( |_
`  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) ) )
5039, 43, 46, 49syl12anc 1290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )
5150anasss 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
52 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  Prime )
5351, 52elind 3609 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  ( ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime ) )
5453ex 441 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )
) )
55 elin 3608 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  <-> 
( z  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) )  /\  z  e.  Prime ) )
56 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
5756zred 11063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  e.  RR )
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  e.  RR )
59 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  P )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  RR )
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  RR )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  RR )
6236adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( sqr `  P
)  e.  RR )
63 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )
6463adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )
65 flle 12068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  P )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  <_  ( sqr `  P ) )
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  <_  ( sqr `  P ) )
6766adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  <_  ( sqr `  P ) )
6858, 61, 62, 64, 67letrd 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  <_  ( sqr `  P ) )
6968ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  <_  ( sqr `  P ) ) )
7069anim1d 574 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime ) ) )
7155, 70syl5bi 225 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime ) ) )
72 ancom 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime )  <->  ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
7371, 72syl6ib 234 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  ->  ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) ) ) )
7454, 73impbid 195 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  <->  z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )
) )
7574imbi1d 324 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) )  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7635, 75syl5bbr 267 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) )  <-> 
( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7776ralbidv2 2827 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  Prime  ( z  <_  ( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  -.  z  ||  P ) )
7877pm5.32i 649 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( z  <_  ( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
791, 34, 783bitri 279 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    e. wcel 1904   A.wral 2756    i^i cin 3389   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    < clt 9693    <_ cle 9694   2c2 10681   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   |_cfl 12059   ^cexp 12310   sqrcsqrt 13373    || cdvds 14382   Primecprime 14701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-dvds 14383  df-prm 14702
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