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Theorem isprm7 36654
Description: One need only check prime divisors of  P up to  sqr P in order to ensure primality. This version of isprm5 14644 combines the primality and bound on  z into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
isprm7  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
Distinct variable group:    z, P

Proof of Theorem isprm7
StepHypRef Expression
1 isprm5 14644 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) ) )
2 prmz 14619 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
32zred 11037 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  RR )
4 0red 9641 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  e.  RR )
5 1red 9655 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  e.  RR )
6 0lt1 10133 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <  1 )
8 prmgt1 14636 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Prime  ->  1  < 
z )
94, 5, 3, 7, 8lttrd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  < 
z )
104, 3, 9ltled 9780 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  Prime  ->  0  <_ 
z )
113, 10jca 535 . . . . . 6  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( z  e.  RR  /\  0  <_  z ) )
12 eluzelre 11166 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
13 0red 9641 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  e.  RR )
14 2re 10676 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  RR )
16 0le2 10697 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  2
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  2 )
18 eluzle 11168 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  P )
1913, 15, 12, 17, 18letrd 9789 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  P )
2012, 19jca 535 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P ) )
21 resqcl 12339 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z ^ 2 )  e.  RR )
22 sqge0 12348 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  0  <_  ( z ^ 2 ) )
2321, 22jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  (
( z ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^
2 ) ) )
2423adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( ( z ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^ 2 ) ) )
25 sqrtle 13317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( z ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( z ^ 2 ) )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P ) )  -> 
( ( z ^
2 )  <_  P  <->  ( sqr `  ( z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P
) ) )
2624, 25sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( (
z ^ 2 )  <_  P  <->  ( sqr `  ( z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P ) ) )
27 sqrtsq 13326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( sqr `  (
z ^ 2 ) )  =  z )
2827breq1d 4411 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  -> 
( ( sqr `  (
z ^ 2 ) )  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
2928adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( ( sqr `  ( z ^
2 ) )  <_ 
( sqr `  P
)  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3026, 29bitrd 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <_  z )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <_  P )
)  ->  ( (
z ^ 2 )  <_  P  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3111, 20, 30syl2anr 481 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( z ^ 2 )  <_  P  <->  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
3231imbi1d 319 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( ( z ^
2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P
)  <->  ( z  <_ 
( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3332ralbidva 2823 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  Prime  ( z  <_ 
( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3433pm5.32i 642 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( ( z ^ 2 )  <_  P  ->  -.  z  ||  P ) )  <-> 
( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  Prime  (
z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
35 impexp 448 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) )  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( z  e.  Prime  -> 
( z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
3612, 19resqrtcld 13472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  P )  e.  RR )
3736flcld 12031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  ZZ )
3837, 2anim12i 569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
3938adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  (
( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
40 prmuz2 14635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
41 eluzle 11168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  z )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Prime  ->  2  <_ 
z )
4342ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  2  <_  z )
44 flge 12038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  P
)  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4536, 2, 44syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  <_  ( sqr `  P )  <->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4645biimpa 487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )
47 2z 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
48 elfz4 11790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  (
2  <_  z  /\  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )  -> 
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
4947, 48mp3anl1 1357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( 2  <_  z  /\  z  <_  ( |_
`  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) ) )
5039, 43, 46, 49syl12anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  Prime )  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )
5150anasss 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) ) )
52 simprl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  Prime )
5351, 52elind 3617 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  e.  ( ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime ) )
5453ex 436 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  ->  z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )
) )
55 elin 3616 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  <-> 
( z  e.  ( 2 ... ( |_
`  ( sqr `  P
) ) )  /\  z  e.  Prime ) )
56 elfzelz 11797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
5756zred 11037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  e.  RR )
5857adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  e.  RR )
59 reflcl 12029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  P )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  RR )
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  e.  RR )
6160adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  e.  RR )
6236adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( sqr `  P
)  e.  RR )
63 elfzle2 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )
6463adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  <_  ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )
65 flle 12032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  P )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  <_  ( sqr `  P ) )
6636, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( |_ `  ( sqr `  P
) )  <_  ( sqr `  P ) )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  P ) )  <_  ( sqr `  P ) )
6858, 61, 62, 64, 67letrd 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) ) )  ->  z  <_  ( sqr `  P ) )
6968ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  -> 
z  <_  ( sqr `  P ) ) )
7069anim1d 567 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  /\  z  e.  Prime )  ->  (
z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime ) ) )
7155, 70syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime ) ) )
72 ancom 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  <_  ( sqr `  P )  /\  z  e.  Prime )  <->  ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) ) )
7371, 72syl6ib 230 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  ->  ( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) ) ) )
7454, 73impbid 194 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P
) )  <->  z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )
) )
7574imbi1d 319 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( z  e.  Prime  /\  z  <_  ( sqr `  P ) )  ->  -.  z  ||  P )  <-> 
( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7635, 75syl5bbr 263 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
z  e.  Prime  ->  ( z  <_  ( sqr `  P )  ->  -.  z  ||  P ) )  <-> 
( z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  ->  -.  z  ||  P ) ) )
7776ralbidv2 2822 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. z  e.  Prime  ( z  <_  ( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P )  <->  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P ) ) )  i^i  Prime )  -.  z  ||  P ) )
7877pm5.32i 642 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. z  e.  Prime  ( z  <_  ( sqr `  P
)  ->  -.  z  ||  P ) )  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
791, 34, 783bitri 275 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( ( 2 ... ( |_ `  ( sqr `  P
) ) )  i^i 
Prime )  -.  z  ||  P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1886   A.wral 2736    i^i cin 3402   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    < clt 9672    <_ cle 9673   2c2 10656   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   ...cfz 11781   |_cfl 12023   ^cexp 12269   sqrcsqrt 13289    || cdvds 14298   Primecprime 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-dvds 14299  df-prm 14616
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