MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle2 11686
Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )

Proof of Theorem elfzle2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11681 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 eluzle 11090 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  N )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    <_ cle 9625   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11693  fzdisj  11708  fznatpl1  11730  fzp1disj  11734  uzdisj  11747  fzneuz  11755  fznuz  11756  difelfznle  11782  nn0disj  11784  seqf1olem1  12110  seqf1olem2  12111  bcval4  12349  bcp1nk  12359  hashf1  12468  seqcoll  12474  seqcoll2  12475  isercolllem2  13447  isercoll  13449  summolem2a  13496  fsum0diaglem  13550  mertenslem1  13652  fzm1ndvds  13893  prmind2  14083  hashdvds  14160  prmdiveq  14171  prmreclem3  14291  prmreclem5  14293  4sqlem11  14328  4sqlem12  14329  vdwlem1  14354  vdwlem3  14356  vdwlem6  14359  vdwlem9  14362  vdwlem10  14363  strlemor1  14578  mndodconglem  16361  oddvds  16367  gexdvds  16400  coe1tmmul  18089  lebnumii  21201  ovolicc2lem4  21666  voliunlem1  21695  dvfsumle  22157  dvfsumge  22158  dvfsumabs  22159  dvfsumlem3  22164  elply2  22328  coeeq2  22374  aaliou3lem6  22478  birthdaylem2  23010  birthdaylem3  23011  wilthlem1  23070  ftalem5  23078  basellem1  23082  basellem3  23084  ppiprm  23153  chtprm  23155  logfac2  23220  lgsval2lem  23309  lgsqrlem2  23345  lgseisenlem1  23352  lgseisenlem2  23353  lgseisenlem3  23354  lgsquadlem1  23357  lgsquadlem2  23358  chebbnd1lem1  23382  dchrvmasumiflem1  23414  mulog2sumlem2  23448  pntrlog2bndlem6  23496  pntpbnd1  23499  pntpbnd2  23500  pntlemh  23512  pntlemj  23516  pntlemf  23518  axlowdimlem16  23936  eupap1  24652  bcm1n  27268  ballotlemimin  28084  ballotlemsdom  28090  ballotlemsel1i  28091  ballotlemsima  28094  ballotlemfrceq  28107  ballotlemfrcn0  28108  erdszelem8  28282  cvmliftlem2  28371  cvmliftlem7  28376  supfz  28582  prodmolem2a  28643  binomrisefac  28741  bpoly4  29398  mblfinlem2  29629  irrapxlem3  30364  irrapxlem4  30365  fzmaxdif  30523  jm2.23  30542  jm2.26lem3  30547  jm2.27dlem2  30556  isprm7  30795  monoords  31073  fmul01lt1lem1  31134  fmul01lt1lem2  31135  sumnnodd  31172  iblspltprt  31291  itgspltprt  31297  stoweidlem3  31303  stoweidlem17  31317  stoweidlem20  31320  stoweidlem26  31326  stoweidlem34  31334  fourierdlem11  31418  fourierdlem12  31419  fourierdlem15  31422  fourierdlem25  31432  fourierdlem41  31448  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem50  31457  fourierdlem52  31459  fourierdlem54  31461  fourierdlem79  31486  fourierdlem102  31509  fourierdlem114  31521  2elfz2melfz  31803  elfzelfzlble  31806
  Copyright terms: Public domain W3C validator