MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle2 11810
Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )

Proof of Theorem elfzle2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11804 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 eluzle 11178 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  N )
31, 2syl 17 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    <_ cle 9683   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-neg 9870  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11817  fzdisj  11833  fznatpl1  11857  fzp1disj  11861  uzdisj  11874  fzneuz  11882  fznuz  11883  elfzmlbm  11907  difelfznle  11912  nn0disj  11914  seqf1olem1  12258  seqf1olem2  12259  bcval4  12498  bcp1nk  12508  hashf1  12624  seqcoll  12631  seqcoll2  12632  isercolllem2  13728  isercoll  13730  summolem2a  13780  fsum0diaglem  13836  mertenslem1  13939  prodmolem2a  13987  binomrisefac  14094  bpoly4  14111  fzm1ndvds  14356  prmind2  14634  prmdvdsfz  14648  hashdvds  14722  prmdiveq  14733  prmreclem3  14861  prmreclem5  14863  4sqlem11  14898  4sqlem12  14899  vdwlem1  14930  vdwlem3  14932  vdwlem6  14935  vdwlem9  14938  vdwlem10  14939  strlemor1  15216  mndodconglem  17189  oddvds  17195  gexdvds  17234  coe1tmmul  18869  lebnumii  21995  ovolicc2lem4OLD  22471  ovolicc2lem4  22472  voliunlem1  22501  dvfsumle  22971  dvfsumge  22972  dvfsumabs  22973  dvfsumlem3  22978  elply2  23148  coeeq2  23194  aaliou3lem6  23302  birthdaylem2  23876  birthdaylem3  23877  wilthlem1  23991  ftalem5  23999  ftalem5OLD  24001  basellem1  24005  basellem3  24007  ppiprm  24076  chtprm  24078  logfac2  24143  lgsval2lem  24232  lgsqrlem2  24268  lgseisenlem1  24275  lgseisenlem2  24276  lgseisenlem3  24277  lgsquadlem1  24280  lgsquadlem2  24281  chebbnd1lem1  24305  dchrvmasumiflem1  24337  mulog2sumlem2  24371  pntrlog2bndlem6  24419  pntpbnd1  24422  pntpbnd2  24423  pntlemh  24435  pntlemj  24439  pntlemf  24441  axlowdimlem16  24985  eupap1  25702  bcm1n  28377  psgnfzto1stlem  28621  smatrcl  28630  submateqlem1  28641  madjusmdetlem2  28662  ballotlemimin  29346  ballotlemsdom  29352  ballotlemsel1i  29353  ballotlemsima  29356  ballotlemfrceq  29369  ballotlemfrcn0  29370  ballotlemiminOLD  29384  ballotlemsdomOLD  29390  ballotlemsel1iOLD  29391  ballotlemsimaOLD  29394  ballotlemfrceqOLD  29407  ballotlemfrcn0OLD  29408  erdszelem8  29929  cvmliftlem2  30017  cvmliftlem7  30022  supfz  30369  bcprod  30381  bccolsum  30382  poimirlem2  31906  poimirlem3  31907  poimirlem4  31908  poimirlem6  31910  poimirlem7  31911  poimirlem8  31912  poimirlem12  31916  poimirlem13  31917  poimirlem14  31918  poimirlem15  31919  poimirlem16  31920  poimirlem17  31921  poimirlem19  31923  poimirlem20  31924  poimirlem21  31925  poimirlem22  31926  poimirlem23  31927  poimirlem24  31928  poimirlem26  31930  poimirlem28  31932  poimirlem29  31933  poimirlem31  31935  poimirlem32  31936  mblfinlem2  31942  irrapxlem3  35638  irrapxlem4  35639  fzmaxdif  35801  jm2.23  35821  jm2.26lem3  35826  jm2.27dlem2  35835  isprm7  36630  binomcxplemnn0  36668  monoords  37468  elfzolem1  37498  fmul01lt1lem1  37602  fmul01lt1lem2  37603  sumnnodd  37650  dvnmul  37758  dvnprodlem1  37761  dvnprodlem2  37762  iblspltprt  37790  itgspltprt  37796  stoweidlem3  37803  stoweidlem17  37817  stoweidlem20  37820  stoweidlem26  37826  stoweidlem34  37835  fourierdlem11  37920  fourierdlem12  37921  fourierdlem15  37924  fourierdlem25  37934  fourierdlem41  37951  fourierdlem48  37958  fourierdlem49  37959  fourierdlem50  37960  fourierdlem52  37962  fourierdlem54  37964  fourierdlem79  37989  fourierdlem102  38012  fourierdlem114  38024  elaa2lem  38037  elaa2lemOLD  38038  etransclem23  38062  etransclem28  38067  etransclem35  38074  etransclem38  38077  iundjiun  38206  iccpartgt  38611  2elfz2melfz  38912  elfzelfzlble  38915  difmodm1lt  39946
  Copyright terms: Public domain W3C validator