MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle2 Structured version   Unicode version

Theorem elfzle2 11693
Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )

Proof of Theorem elfzle2
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 11688 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 eluzle 11094 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  K  <_  N )
31, 2syl 16 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  K  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    <_ cle 9618   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  elfz1eq  11700  fzdisj  11715  fznatpl1  11738  fzp1disj  11742  uzdisj  11755  fzneuz  11763  fznuz  11764  elfzmlbm  11788  difelfznle  11793  nn0disj  11795  seqf1olem1  12128  seqf1olem2  12129  bcval4  12367  bcp1nk  12377  hashf1  12490  seqcoll  12496  seqcoll2  12497  isercolllem2  13570  isercoll  13572  summolem2a  13619  fsum0diaglem  13673  mertenslem1  13775  prodmolem2a  13823  fzm1ndvds  14122  prmind2  14312  hashdvds  14389  prmdiveq  14400  prmreclem3  14520  prmreclem5  14522  4sqlem11  14557  4sqlem12  14558  vdwlem1  14583  vdwlem3  14585  vdwlem6  14588  vdwlem9  14591  vdwlem10  14592  strlemor1  14811  mndodconglem  16764  oddvds  16770  gexdvds  16803  coe1tmmul  18513  lebnumii  21632  ovolicc2lem4  22097  voliunlem1  22126  dvfsumle  22588  dvfsumge  22589  dvfsumabs  22590  dvfsumlem3  22595  elply2  22759  coeeq2  22805  aaliou3lem6  22910  birthdaylem2  23480  birthdaylem3  23481  wilthlem1  23540  ftalem5  23548  basellem1  23552  basellem3  23554  ppiprm  23623  chtprm  23625  logfac2  23690  lgsval2lem  23779  lgsqrlem2  23815  lgseisenlem1  23822  lgseisenlem2  23823  lgseisenlem3  23824  lgsquadlem1  23827  lgsquadlem2  23828  chebbnd1lem1  23852  dchrvmasumiflem1  23884  mulog2sumlem2  23918  pntrlog2bndlem6  23966  pntpbnd1  23969  pntpbnd2  23970  pntlemh  23982  pntlemj  23986  pntlemf  23988  axlowdimlem16  24462  eupap1  25178  bcm1n  27834  ballotlemimin  28708  ballotlemsdom  28714  ballotlemsel1i  28715  ballotlemsima  28718  ballotlemfrceq  28731  ballotlemfrcn0  28732  erdszelem8  28906  cvmliftlem2  28995  cvmliftlem7  29000  supfz  29348  binomrisefac  29405  bpoly4  30049  mblfinlem2  30292  irrapxlem3  30999  irrapxlem4  31000  fzmaxdif  31158  jm2.23  31177  jm2.26lem3  31182  jm2.27dlem2  31191  isprm7  31433  binomcxplemnn0  31495  monoords  31735  fmul01lt1lem1  31817  fmul01lt1lem2  31818  sumnnodd  31875  dvnmul  31979  dvnprodlem1  31982  dvnprodlem2  31983  iblspltprt  32011  itgspltprt  32017  stoweidlem3  32024  stoweidlem17  32038  stoweidlem20  32041  stoweidlem26  32047  stoweidlem34  32055  fourierdlem11  32139  fourierdlem12  32140  fourierdlem15  32143  fourierdlem25  32153  fourierdlem41  32169  fourierdlem48  32176  fourierdlem49  32177  fourierdlem50  32178  fourierdlem52  32180  fourierdlem54  32182  fourierdlem79  32207  fourierdlem102  32230  fourierdlem114  32242  elaa2lem  32255  etransclem23  32279  etransclem28  32284  etransclem35  32291  etransclem38  32294  2elfz2melfz  32708  elfzelfzlble  32711  difmodm1lt  33389
  Copyright terms: Public domain W3C validator