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Theorem lgseisenlem2 24901
Description: Lemma for lgseisen 24904. The function 𝑀 is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem2 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem lgseisenlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lgseisen.1 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 lgseisen.2 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3 lgseisen.3 . . . 4 (𝜑𝑃𝑄)
4 lgseisen.4 . . . 4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
5 lgseisen.5 . . . 4 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
61, 2, 3, 4, 5lgseisenlem1 24900 . . 3 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
7 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
87oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 · (2 · 𝑥)) = (𝑄 · (2 · 𝑦)))
98oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
10 lgseisen.6 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
119, 4, 103eqtr4g 2669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑆)
1211oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (-1↑𝑅) = (-1↑𝑆))
1312, 11oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = ((-1↑𝑆) · 𝑆))
1413oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃))
1514oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2))
16 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) ∈ V
1715, 5, 16fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑀𝑦) = ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2))
1817ad2antrl 760 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑀𝑦) = ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2))
19 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ V
205fvmpt2 6200 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ V) → (𝑀𝑥) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
2119, 20mpan2 703 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝑀𝑥) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
2221ad2antll 761 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑀𝑥) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
2318, 22eqeq12d 2625 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑀𝑦) = (𝑀𝑥) ↔ ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
242adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2524eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ ℙ)
26 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ ℤ)
28 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
29 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
3029ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
31 zmulcl 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
3228, 30, 31sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
3327, 32zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ)
341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3534eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
36 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
3833, 37zmodcld 12553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
3910, 38syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
4039nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑆 ∈ ℤ)
41 m1expcl 12745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ ℤ → (-1↑𝑆) ∈ ℤ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑆) ∈ ℤ)
4342, 40zmulcld 11364 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · 𝑆) ∈ ℤ)
4443, 37zmodcld 12553 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
4544nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℂ)
46 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
4746ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
48 zmulcl 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
4928, 47, 48sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
5027, 49zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
5150, 37zmodcld 12553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
524, 51syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑅 ∈ ℤ)
54 m1expcl 12745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
5655, 53zmulcld 11364 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
5756, 37zmodcld 12553 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
5857nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℂ)
59 2cnd 10970 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 ∈ ℂ)
60 2ne0 10990 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
6160a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 ≠ 0)
62 div11 10592 . . . . . . . 8 (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℂ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ↔ (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)))
6345, 58, 59, 61, 62syl112anc 1322 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ↔ (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)))
6437nnrpd 11746 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
65 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) mod 𝑃) = ((-1↑𝑆) mod 𝑃))
6610oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 mod 𝑃) = (((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) mod 𝑃)
6733zred 11358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℝ)
68 modabs2 12566 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
6967, 64, 68syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
7066, 69syl5eq 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑆 mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
7142, 42, 40, 33, 64, 65, 70modmul12d 12586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃))
72 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) mod 𝑃) = ((-1↑𝑅) mod 𝑃))
734oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃)
7450zred 11358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
75 modabs2 12566 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
7674, 64, 75syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
7773, 76syl5eq 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑅 mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
7855, 55, 53, 50, 64, 72, 77modmul12d 12586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
7971, 78eqeq12d 2625 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ↔ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃)))
8042, 33zmulcld 11364 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) ∈ ℤ)
8155, 50zmulcld 11364 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
82 moddvds 14829 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))))
8337, 80, 81, 82syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))))
8427zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ ℂ)
8542, 32zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ)
8685zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
8755, 49zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
8887zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)) ∈ ℂ)
8984, 86, 88subdid 10365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = ((𝑄 · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) − (𝑄 · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
9042zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑆) ∈ ℂ)
9132zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
9284, 90, 91mul12d 10124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) = ((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))))
9355zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
9449zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
9584, 93, 94mul12d 10124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) = ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))
9692, 95oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑄 · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) − (𝑄 · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥)))))
9789, 96eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥)))))
9897breq2d 4595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))))
993adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃𝑄)
100 prmrp 15262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
10135, 25, 100syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
10299, 101mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
103 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
10435, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℤ)
10585, 87zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
106 coprmdvds 15204 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
107104, 27, 105, 106syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
108102, 107mpan2d 706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) → 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
109 dvdsmultr2 14859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (-1↑𝑅) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))))))
110104, 55, 105, 109syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))))))
11193, 86, 88subdid 10365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
112 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → -1 ∈ ℂ)
114113, 39, 52expaddd 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑(𝑅 + 𝑆)) = ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑆)))
115114oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) = (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑆)) · (2 · 𝑦)))
11693, 90, 91mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑆)) · (2 · 𝑦)) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))))
117115, 116eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) = ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)))
118 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℂ
119 ax-1ne0 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≠ 0
120 divneg2 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
121118, 118, 119, 120mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -(1 / 1) = (1 / -1)
122 1div1e1 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 / 1) = 1
123122negeqi 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -(1 / 1) = -1
124121, 123eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / -1) = -1
125124oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 / -1)↑𝑅) = (-1↑𝑅)
126 neg1ne0 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -1 ≠ 0
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → -1 ≠ 0)
128113, 127, 53exprecd 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((1 / -1)↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
129125, 128syl5eqr 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
130129oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))))
131113, 127, 53expne0d 12876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) ≠ 0)
13293, 131recidd 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))) = 1)
133130, 132eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = 1)
134133oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · (2 · 𝑥)) = (1 · (2 · 𝑥)))
13593, 93, 94mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · (2 · 𝑥)) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))))
13694mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (1 · (2 · 𝑥)) = (2 · 𝑥))
137134, 135, 1363eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) = (2 · 𝑥))
138117, 137oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥)))
139111, 138eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥)))
140139breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥))))
141 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
14291mulm1d 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1 · (2 · 𝑦)) = -(2 · 𝑦))
143142oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃))
144143eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((2 · 𝑥) mod 𝑃) = ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) ↔ ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃)))
145141, 144syl5bb 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃)))
14632znegcld 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → -(2 · 𝑦) ∈ ℤ)
147 moddvds 14829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ -(2 · 𝑦) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦))))
14837, 49, 146, 147syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦))))
149 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
150149ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
151 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
152151ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ ℕ)
153150, 152nnaddcld 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ)
154150nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15530zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
156 oddprm 15353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
15734, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
158157nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
159 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
160159ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
161 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
162161ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
163154, 155, 158, 158, 160, 162le2addd 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)))
16437nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ)
165 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
167166recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
1681672halvesd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
169163, 168breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
170 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
171 fznn 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))))
172104, 170, 1713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))))
173153, 169, 172mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
174 fzm1ndvds 14882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦))
17537, 173, 174syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦))
176 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
17734, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ≠ 2)
178 2prm 15243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℙ
179 prmrp 15262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 2) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 2))
18035, 178, 179sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 gcd 2) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 2))
181177, 180mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 gcd 2) = 1)
18228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 ∈ ℤ)
183153nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
184 coprmdvds 15204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑃 gcd 2) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦)))
185104, 182, 183, 184syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑃 gcd 2) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦)))
186181, 185mpan2d 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦)) → 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦)))
187175, 186mtod 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦)))
18894, 91subnegd 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 𝑦)))
18947zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
19030zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
19159, 189, 190adddid 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · (𝑥 + 𝑦)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 𝑦)))
192188, 191eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)) = (2 · (𝑥 + 𝑦)))
193192breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)) ↔ 𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦))))
194187, 193mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)))
195194pm2.21d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
196148, 195sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
197145, 196sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
198 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) = (-1 · (2 · 𝑦)))
199198oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
200199eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃)))
201200imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → (((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)) ↔ (((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))))
202197, 201syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))))
20391mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (1 · (2 · 𝑦)) = (2 · 𝑦))
204203oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑦) mod 𝑃))
20532zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℝ)
206 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ
207 nnmulcl 10920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
208206, 152, 207sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
209208nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
210209nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ (2 · 𝑦))
211 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 ∈ ℝ)
213 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 2
214213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 < 2)
215 lemuldiv2 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
216155, 166, 212, 214, 215syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
217162, 216mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
218 zltlem1 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1)))
21932, 104, 218syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑦) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1)))
220217, 219mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) < 𝑃)
221 modid 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((2 · 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (2 · 𝑦) ∧ (2 · 𝑦) < 𝑃)) → ((2 · 𝑦) mod 𝑃) = (2 · 𝑦))
222205, 64, 210, 220, 221syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑦) mod 𝑃) = (2 · 𝑦))
223204, 222eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = (2 · 𝑦))
22449zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
225 nnmulcl 10920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
226206, 150, 225sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
227226nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
228227nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ (2 · 𝑥))
229 lemuldiv2 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
230154, 166, 212, 214, 229syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
231160, 230mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
232 zltlem1 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))
23349, 104, 232syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))
234231, 233mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) < 𝑃)
235 modid 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (2 · 𝑥) ∧ (2 · 𝑥) < 𝑃)) → ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (2 · 𝑥))
236224, 64, 228, 234, 235syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (2 · 𝑥))
237223, 236eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
238237biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
239 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) = (1 · (2 · 𝑦)))
240239oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
241240eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ ((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃)))
242241imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → (((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)) ↔ (((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))))
243238, 242syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))))
24452, 39nn0addcld 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑅 + 𝑆) ∈ ℕ0)
245244nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑅 + 𝑆) ∈ ℤ)
246 m1expcl2 12744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 + 𝑆) ∈ ℤ → (-1↑(𝑅 + 𝑆)) ∈ {-1, 1})
247 elpri 4145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) ∈ {-1, 1} → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 ∨ (-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1))
248245, 246, 2473syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 ∨ (-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1))
249202, 243, 248mpjaod 395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
250 neg1z 11290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℤ
251 zexpcl 12737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑅 + 𝑆) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑅 + 𝑆)) ∈ ℤ)
252250, 244, 251sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑(𝑅 + 𝑆)) ∈ ℤ)
253252, 32zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ)
254 moddvds 14829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥))))
25537, 253, 49, 254syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥))))
256190, 189, 59, 61mulcand 10539 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑦) = (2 · 𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
257249, 255, 2563imtr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥)) → 𝑦 = 𝑥))
258140, 257sylbid 229 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 = 𝑥))
259108, 110, 2583syld 58 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 = 𝑥))
26098, 259sylbird 249 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 = 𝑥))
26183, 260sylbid 229 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑥))
26279, 261sylbid 229 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑥))
26363, 262sylbid 229 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → 𝑦 = 𝑥))
26423, 263sylbid 229 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑀𝑦) = (𝑀𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
265264ralrimivva 2954 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀𝑦) = (𝑀𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
266 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
2675, 266nfcxfr 2749 . . . . . . . . 9 𝑥𝑀
268 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦
269267, 268nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑥(𝑀𝑦)
270 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑥𝑧
271267, 270nffv 6110 . . . . . . . 8 𝑥(𝑀𝑧)
272269, 271nfeq 2762 . . . . . . 7 𝑥(𝑀𝑦) = (𝑀𝑧)
273 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑥 𝑦 = 𝑧
274272, 273nfim 1813 . . . . . 6 𝑥((𝑀𝑦) = (𝑀𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
275 nfv 1830 . . . . . 6 𝑧((𝑀𝑦) = (𝑀𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
276 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑀𝑧) = (𝑀𝑥))
277276eqeq2d 2620 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑀𝑦) = (𝑀𝑧) ↔ (𝑀𝑦) = (𝑀𝑥)))
278 equequ2 1940 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑥))
279277, 278imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (((𝑀𝑦) = (𝑀𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((𝑀𝑦) = (𝑀𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
280274, 275, 279cbvral 3143 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀𝑦) = (𝑀𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀𝑦) = (𝑀𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
281280ralbii 2963 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀𝑦) = (𝑀𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀𝑦) = (𝑀𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
282265, 281sylibr 223 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀𝑦) = (𝑀𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
283 dff13 6416 . . 3 (𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀𝑦) = (𝑀𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
2846, 282, 283sylanbrc 695 . 2 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
285 ovex 6577 . . . 4 (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ V
286285enref 7874 . . 3 (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (1...((𝑃 − 1) / 2))
287 fzfi 12633 . . 3 (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin
288 f1finf1o 8072 . . 3 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → (𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2))))
289286, 287, 288mp2an 704 . 2 (𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
290284, 289sylib 207 1 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  Vcvv 3173  cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643  wf 5800  1-1wf1 5801  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cen 7838  Fincfn 7841  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  +crp 11708  ...cfz 12197   mod cmo 12530  cexp 12722  cdvds 14821   gcd cgcd 15054  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  24902
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