Theorem nn0addcld 11232

Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
nn0addcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0addcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0addcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0addcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
3		nn0addcl 11205	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  expaddz  12766  bccl  12971  ccatrn  13225  swrdccat2  13310  splval2  13359  relexpaddg  13641  rtrclreclem3  13648  mertenslem1  14455  bitsmod  14996  bitsinv1lem  15001  sadcaddlem  15017  sadadd2lem  15019  sadadd  15027  sadass  15031  smupp1  15040  smumul  15053  pcpremul  15386  gzabssqcl  15483  mul4sq  15496  4sqlem12  15498  4sqlem14  15500  4sqlem16  15502  sylow1lem1  17836  efgcpbllemb  17991  coe1tmmul2fv  19469  coe1pwmulfv  19471  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulfsupp  20487  chfacfpmmulgsum  20488  cpmadugsumlemF  20500  mdegmullem  23642  coe1mul3  23663  deg1mul2  23678  ply1domn  23687  ply1divex  23700  plymullem  23776  coeeulem  23784  dgrmul  23830  dvntaylp  23929  taylthlem2  23932  dmgmaddnn0  24553  mumullem2  24706  lgseisenlem2  24901  2sqlem8  24951  wwlkext2clwwlk  26331  vdgrfif  26426  numclwwlk2lem1  26629  numclwlk2lem2f  26630  numclwlk2lem2f1o  26632  omndmul2  29043  madjusmdetlem4  29224  oddpwdc  29743  iwrdsplit  29776  fiblem  29787  fibp1  29790  signshlen  29993  subfacp1lem6  30421  faclim2  30887  mon1psubm  36803  itgpowd  36819  radcnvrat  37535  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemfrat  37572  itgsinexp  38846  wallispilem5  38962  wallispi2lem2  38965  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  fourierdlem48  39047  elaa2lem  39126  etransclem32  39159  etransclem46  39173  sqrtpwpw2p  39988  fmtnofac2lem  40018  fmtnofac2  40019  vtxdgfisnn0  40690  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcsh1wlkn0  41024  eucrctshift  41411  dignn0flhalflem2  42208