MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmul12d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmul12d 12586
Description: Multiplication property of the modulo operation, see theorem 5.2(b) in [ApostolNT] p. 107. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
modmul12d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
modmul12d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
modmul12d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
modmul12d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
modmul12d.5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
modmul12d.6 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modmul12d.7 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
Assertion
Ref Expression
modmul12d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modmul12d
StepHypRef Expression
1 modmul12d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 11358 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 modmul12d.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
43zred 11358 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 modmul12d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
6 modmul12d.5 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
7 modmul12d.6 . . 3 (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
8 modmul1 12585 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸)) → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
92, 4, 5, 6, 7, 8syl221anc 1329 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸))
103zcnd 11359 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
115zcnd 11359 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1210, 11mulcomd 9940 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
1312oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸))
145zred 11358 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 modmul12d.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
1615zred 11358 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
17 modmul12d.7 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
18 modmul1 12585 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) ∧ (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸)) → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
1914, 16, 3, 6, 17, 18syl221anc 1329 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸))
2015zcnd 11359 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2120, 10mulcomd 9940 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐷))
2221oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
2313, 19, 223eqtrd 2648 . 2 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
249, 23eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 · 𝐷) mod 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cr 9814   · cmul 9820  cz 11254  +crp 11708   mod cmo 12530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531
This theorem is referenced by:  modexp  12861  fprodmodd  14567  smumul  15053  modxai  15610  elqaalem2  23879  lgsdir2lem5  24854  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  modexp2m1d  40067
  Copyright terms: Public domain W3C validator