MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzfi 12633
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi (𝑀...𝑁) ∈ Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 8073 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 eleq1 2676 . . 3 ((𝑀...𝑁) = ∅ → ((𝑀...𝑁) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
31, 2mpbiri 247 . 2 ((𝑀...𝑁) = ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
4 fzn0 12226 . . 3 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 onfin2 8037 . . . . . 6 ω = (On ∩ Fin)
6 inss2 3796 . . . . . 6 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
75, 6eqsstri 3598 . . . . 5 ω ⊆ Fin
8 eqid 2610 . . . . . . 7 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
98hashgf1o 12632 . . . . . 6 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
10 peano2uz 11617 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
11 uznn0sub 11595 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0)
13 f1ocnvdm 6440 . . . . . 6 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑀) ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
149, 12, 13sylancr 694 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ ω)
157, 14sseldi 3566 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin)
168fzen2 12630 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ≈ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)))
17 enfii 8062 . . . 4 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀)) ∈ Fin ∧ (𝑀...𝑁) ≈ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((𝑁 + 1) − 𝑀))) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
1815, 16, 17syl2anc 691 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
194, 18sylbi 206 . 2 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
203, 19pm2.61ine 2865 1 (𝑀...𝑁) ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  cin 3539  c0 3874   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ccnv 5037  cres 5040  Oncon0 5640  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  reccrdg 7392  cen 7838  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cmin 10145  0cn0 11169  cuz 11563  ...cfz 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198
This theorem is referenced by:  fzfid  12634  fzofi  12635  fsequb  12636  fsequb2  12637  fseqsupcl  12638  ssnn0fi  12646  seqf1o  12704  isfinite4  13014  hashdom  13029  fzsdom2  13075  fnfz0hashnn0  13089  seqcoll2  13106  caubnd  13946  limsupgre  14060  fz1f1o  14288  summolem3  14292  summolem2  14294  zsum  14296  prodmolem3  14502  prodmolem2  14504  zprod  14506  risefallfac  14594  bpolylem  14618  phicl2  15311  phibnd  15314  hashdvds  15318  phiprmpw  15319  eulerth  15326  phisum  15333  pcfac  15441  prmreclem2  15459  prmreclem3  15460  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  prmrec  15464  1arith  15469  vdwlem6  15528  vdwlem10  15532  vdwlem12  15534  prmdvdsprmo  15584  prmgaplcmlem1  15593  prmgaplcm  15602  isstruct2  15704  gsumval3lem1  18129  gsumval3lem2  18130  gsumval3  18131  coe1mul2  19460  ovoliunlem2  23078  uniioombllem6  23162  itg0  23352  itgz  23353  coemullem  23810  aannenlem1  23887  aannenlem2  23888  birthdaylem1  24478  birthdaylem2  24479  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  ftalem5  24603  ppifi  24632  prmdvdsfi  24633  chtdif  24684  ppidif  24689  chp1  24693  ppiltx  24703  prmorcht  24704  mumul  24707  sqff1o  24708  ppiub  24729  pclogsum  24740  logexprlim  24750  gausslemma2dlem1  24891  gausslemma2dlem5  24896  gausslemma2dlem6  24897  lgseisenlem2  24901  axlowdimlem16  25637  wlks  26047  wlkres  26050  trls  26066  crcts  26150  cycls  26151  konigsberg  26514  pmtrto1cl  29180  psgnfzto1stlem  29181  fzto1st  29184  psgnfzto1st  29186  smatcl  29196  1smat1  29198  esumpcvgval  29467  esumcvg  29475  carsggect  29707  carsgclctunlem2  29708  oddpwdc  29743  eulerpartlemb  29757  ballotlem1  29875  ballotlem2  29877  ballotlemfelz  29879  ballotlemfp1  29880  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  ballotlemfmpn  29883  ballotlemiex  29890  ballotlemsup  29893  ballotlemfg  29914  ballotlemfrc  29915  ballotlemfrceq  29917  ballotth  29926  plymulx0  29950  subfacf  30411  subfacp1lem1  30415  subfacp1lem3  30418  subfacp1lem5  30420  subfacp1lem6  30421  erdszelem2  30428  erdszelem10  30436  cvmliftlem15  30534  bcprod  30877  ptrecube  32579  poimirlem25  32604  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem28  32607  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  mblfinlem2  32617  volsupnfl  32624  itg2addnclem2  32632  nnubfi  32716  nninfnub  32717  cntotbnd  32765  eldioph2lem1  36341  eldioph2lem2  36342  eldioph2  36343  pellexlem5  36415  pellex  36417  jm2.22  36580  jm2.23  36581  hbt  36719  rp-isfinite6  36883  fzisoeu  38455  sumnnodd  38697  stoweidlem37  38930  stoweidlem44  38937  stoweidlem59  38952  fourierdlem37  39037  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  etransclem16  39143  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem33  39160  etransclem35  39162  etransclem44  39171  etransclem45  39172  sge0reuz  39340  hoidmvlelem2  39486  konigsberglem5  41426  aacllem  42356
  Copyright terms: Public domain W3C validator