Theorem erdszelem2 30428

Description: Lemma for erdsze 30438. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
erdszelem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
erdszelem2	⊢ ((# “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (# “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 12633	. . . . 5 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
2		pwfi 8144	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
3	1, 2	mpbi 219	. . . 4 ⊢ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4		erdszelem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
5		ssrab2 3650	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
6	4, 5	eqsstri 3598	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7		ssfi 8065	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
8	3, 6, 7	mp2an 704	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
9		hashf 12987	. . . . 5 ⊢ #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		ffun 5961	. . . . 5 ⊢ (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun #)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun #
12		ssv 3588	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ V
13	9	fdmi 5965	. . . . 5 ⊢ dom # = V
14	12, 13	sseqtr4i 3601	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom #
15		fores 6037	. . . 4 ⊢ ((Fun # ∧ 𝑆 ⊆ dom #) → (# ↾ 𝑆):𝑆–onto→(# “ 𝑆))
16	11, 14, 15	mp2an 704	. . 3 ⊢ (# ↾ 𝑆):𝑆–onto→(# “ 𝑆)
17		fofi 8135	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ (# ↾ 𝑆):𝑆–onto→(# “ 𝑆)) → (# “ 𝑆) ∈ Fin)
18	8, 16, 17	mp2an 704	. 2 ⊢ (# “ 𝑆) ∈ Fin
19		funimass4 6157	. . . 4 ⊢ ((Fun # ∧ 𝑆 ⊆ dom #) → ((# “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (#‘𝑥) ∈ ℕ))
20	11, 14, 19	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((# “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (#‘𝑥) ∈ ℕ)
21	4	erdszelem1 30427	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
22		ne0i 3880	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
23	22	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24		simp1 1054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25		ssfi 8065	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
26	1, 24, 25	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27		hashnncl 13018	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((#‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ((#‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
29	23, 28	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → (#‘𝑥) ∈ ℕ)
30	21, 29	sylbi 206	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (#‘𝑥) ∈ ℕ)
31	20, 30	mprgbir 2911	. 2 ⊢ (# “ 𝑆) ⊆ ℕ
32	18, 31	pm3.2i 470	1 ⊢ ((# “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (# “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816  +∞cpnf 9950   < clt 9953  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  erdszelem5  30431  erdszelem6  30432  erdszelem7  30433  erdszelem8  30434