Theorem ballotlemfmpn 29883

Description: (𝐹‘𝐶) finishes counting at (𝑀 − 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfmpn	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		nnaddcl 10919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 2, 7	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
9	8	nnzi 11278	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ballotlemfval 29878	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12		ssrab2 3650	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
13	3, 12	eqsstri 3598	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
14	13	sseli 3564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
15	14	elpwid 4118	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16		sseqin2 3779	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	sylib 207	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
18	17	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (#‘𝐶))
19		rabssab 3652	. . . . . . 7 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
20	19	sseli 3564	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀})
21	20, 3	eleq2s 2706	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀})
22		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (#‘𝑏) = (#‘𝐶))
23	22	eqeq1d 2612	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((#‘𝑏) = 𝑀 ↔ (#‘𝐶) = 𝑀))
24		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (#‘𝑐) = (#‘𝑏))
25	24	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((#‘𝑐) = 𝑀 ↔ (#‘𝑏) = 𝑀))
26	25	cbvabv 2734	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (#‘𝑏) = 𝑀}
27	23, 26	elab2g 3322	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ↔ (#‘𝐶) = 𝑀))
28	21, 27	mpbid 221	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘𝐶) = 𝑀)
29	18, 28	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
30		fzfi 12633	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
31		hashssdif 13061	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)))
32	30, 15, 31	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)))
33	8	nnnn0i 11177	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
34		hashfz1 12996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
35	33, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
36	35, 28	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
37	1	nncni 10907	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
38	2	nncni 10907	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
39		pncan2 10167	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
40	37, 38, 39	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
42	32, 36, 41	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
43	29, 42	oveq12d 6567	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀 − 𝑁))
44	11, 43	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  ballotlem5  29888