Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  konigsberglem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsberglem5 41426
 Description: Lemma 5 for konigsberg-av 41427: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg-av.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg-av.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg-av.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsberglem5 2 < (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem konigsberglem5
StepHypRef Expression
1 konigsberg-av.v . . 3 𝑉 = (0...3)
2 konigsberg-av.e . . 3 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
3 konigsberg-av.g . . 3 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
41, 2, 3konigsberglem4 41425 . 2 {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}
51ovexi 6578 . . . 4 𝑉 ∈ V
65rabex 4740 . . 3 {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V
7 hashss 13058 . . 3 (({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ V ∧ {0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → (#‘{0, 1, 3}) ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
86, 7mpan 702 . 2 ({0, 1, 3} ⊆ {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} → (#‘{0, 1, 3}) ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
9 0ne1 10965 . . . . . 6 0 ≠ 1
10 1re 9918 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
11 1lt3 11073 . . . . . . 7 1 < 3
1210, 11ltneii 10029 . . . . . 6 1 ≠ 3
13 3ne0 10992 . . . . . 6 3 ≠ 0
149, 12, 133pm3.2i 1232 . . . . 5 (0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0)
15 c0ex 9913 . . . . . 6 0 ∈ V
16 1ex 9914 . . . . . 6 1 ∈ V
17 3ex 10973 . . . . . 6 3 ∈ V
18 hashtpg 13121 . . . . . 6 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 3 ∈ V) → ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (#‘{0, 1, 3}) = 3))
1915, 16, 17, 18mp3an 1416 . . . . 5 ((0 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 0) ↔ (#‘{0, 1, 3}) = 3)
2014, 19mpbi 219 . . . 4 (#‘{0, 1, 3}) = 3
2120breq1i 4590 . . 3 ((#‘{0, 1, 3}) ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ 3 ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
22 df-3 10957 . . . . 5 3 = (2 + 1)
2322breq1i 4590 . . . 4 (3 ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
24 2z 11286 . . . . 5 2 ∈ ℤ
25 fzfi 12633 . . . . . . . 8 (0...3) ∈ Fin
261, 25eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝑉 ∈ Fin
27 rabfi 8070 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → {𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin)
28 hashcl 13009 . . . . . . 7 ({𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)} ∈ Fin → (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
2926, 27, 28mp2b 10 . . . . . 6 (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℕ0
3029nn0zi 11279 . . . . 5 (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ
31 zltp1le 11304 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ∈ ℤ) → (2 < (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})))
3224, 30, 31mp2an 704 . . . 4 (2 < (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) ↔ (2 + 1) ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
3323, 32sylbb2 227 . . 3 (3 ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
3421, 33sylbi 206 . 2 ((#‘{0, 1, 3}) ≤ (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}) → 2 < (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)}))
354, 8, 34mp2b 10 1 2 < (#‘{𝑥𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑥)})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  #chash 12979  ⟨“cs7 13442   ∥ cdvds 14821  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-s4 13446  df-s5 13447  df-s6 13448  df-s7 13449  df-dvds 14822  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  konigsberg-av  41427
 Copyright terms: Public domain W3C validator